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SS 04 - Lösungen der Prüfung 1, Y, 30.Juni2004

Y   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Juni2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichunssystems der Form $L\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $L$ um eine Links-Dreiecksmatrix handelt?

L 1a)
Vorwärtseinsetzen.

1b)
Mit welcher Zahl muss man eine komplexe Zahl ``z'' multiplizieren, damit die grafische Darstellung des Resultates als Vektor senkrecht auf der Darstellung von ``z'' steht?

L 1b)
z steht senkrecht auf i*z oder -i*z

1c)
Warum gibt es in MATLAB keinen Punkt-Operator für die Addition, wie etwa ``.+''?

L 1c)
Die Addition ist bereits Elementweise definiert.

1d)
Eine Kurve in Polarkoordinaten-Darstellung ist als Tabelle 'r, w' (Radius, Winkel in Radian) gegeben. Wie kann man daraus die Vektoren erhalten ,um die Kurve mit plot(x,y) zu zeichnen?

L 1d)
x = r .* cos(w) ; y = r .* sin(w) ;

2)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n obere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit dem Wert 3 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und rechts davon n Werte (bzw. bis zum Rand) nebeneinander verschieden von Null sind. Auf der Diagonalen soll jedoch der Wert 6 stehen.

L 2)
 
M=zeros(2*n)
for zei= 1:2*n
for spa = zei:min(2*n,zei+n)
M(zei,spa)= 3
end
M(zei,zei)=6
end

3)
Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte$ A(8/0/0)$, $B(0/6/0)$ und $C(0/0/6.4)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei F soll durch den Koordinatnursprung gehen und G soll doppelt so weit vom Ursprung entfernt sein wie E.

L 3)
en = [0.48 0.64 0.60]' ; d=3.84
E: en'*OP-3.84 = 0 , F: en'*OP = 0; G: en'*OP-7.68 = 0

4)
Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?
 
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0\\
0& \sqrt{3}/2 & a & 0 \\
0 & b & \sqrt{3}/2 & c \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)}$

L 4)
a=1/2 b=-1/2 oder a=-1/2 b=1/2 und c=0

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die Pfeil-Figur mit den Ecken $L =(0/-4)$, $S=(5/-2)$, $R=(0/0)$ um 90$^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Spitze S dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten L'S'R'.

L 5)
S=[1 0 -5 ; 0 1 2 ; 0 0 1] ; R= [0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 1]; B=[1 0 5 ; 0 1 -2 ; 0 0 1];
Ttot = B*R*S = [ 0 -1 3 ; 1 0 -7 ; 0 0 1 ]; Ptrans = [7 5 3 ; -7 -2 -7 ; 1 1 1]

6)
Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der x-Achse, welche durch die Punkte (0/-5/0) und (1/0/-5) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L 6)
w = (0:0.0625:8)*pi; y = -5*cos(w) ; z = -5*sin(w); x = w*2/pi;
plot3(x, y, z,'k-o') axis equal


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2012-03-21