SS 04 - Lösungen der Prüfung 1, B, 30.Juni2004

B   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Juni2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie die zu $r\cdot \mathrm{e}^{j\cdot w}$ konjugiert komplexe Zahl, ebenfalls in der Polarkoordinatenform an!

L 1a)

1b)

Nennen Sie vier weitere Kenn-Buchstaben, sowie deren Bedeutung, zur Angabe einer Farbe in MATLAB, ausser den am meisten verbreiteten 'r', 'g' 'b'!

L 1b)

'c'yan, 'm'agenta, 'y'ellow = gelb, blac'k' = schwarz.

1c)

Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichunssystems der Form $L\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $L$ um eine Links-Dreiecksmatrix handelt?

L 1c)

Vorwärtseinsetzen.

1d)

Wie erreicht man in MATLAB, dass die grafische Zeichenfläche quadratisch gewählt wird?

L 1d)

axis square (gilt auch fuer 3D, um wuerfelformigen Bereich zu verlangen)

2)

Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?

 

$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & c & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}/2 & a \\ 0 & 0 & b & \sqrt{3}/2 \\ \end{array}\right)}$$

L 2)

a=1/2 b=-1/2 oder a=-1/2 b=1/2 und c=1 oder c=-1

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n obere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit dem Wert 4 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und rechts davon n Werte (bzw. bis zum Rand) nebeneinander verschieden von Null sind. Auf der Diagonalen soll jedoch der Wert 2 stehen.

L 3)

 
M=zeros(2*n)
for zei= 1:2*n
for spa = zei:min(2*n,zei+n)
M(zei,spa)= 4
end
M(zei,zei)=2
end

4)

Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(6.4/0/0)$, $B(0/8/0)$ und $C(0/0/6)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei F soll durch den Koordinatnursprung gehen und G soll doppelt so weit vom Ursprung entfernt sein wie E.

L 4)

en = [0.6 0.48 0.64 ]' ; d=3.84
E: en'*OP-3.84 = 0 , F: en'*OP = 0; G: en'*OP-7.68 = 0

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die Pfeil-Figur mit den Ecken $L =(0/6)$, $S=(-4/7)$, $R=(0/8)$ um -90$^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Spitze S dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten L'S'R'.

L 5)

S=[1 0 4 ; 0 1 -7 ; 0 0 1] ; R= [0 1 0 ; -1 0 0 ; 0 0 1]; B=[1 0 -4 ; 0 1 7 ; 0 0 1];
Ttot = B*R*S = [ 0 1 -11 ; -1 0 3 ; 0 0 1 ]; Ptrans = [-5 -4 -3 ; 3 7 3 ; 1 1 1]

6)

Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der x-Achse, welche durch die Punkte (0/4/0) und (1/0/4) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L 6)

w = (0:0.0625:8)*pi; y = 4*cos(w) ; z = 4*sin(w); x = w*2/pi;
plot3(x, y, z,'b-o') axis equal