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SS 04 - Lösungen der Prüfung 1, G, 30.Juni2004

G   LösungenIngenieurmathematik Prüfung 1 30.Juni2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Welches ist der Rang einer 5x5 Scroll-down Matrix , welche die unten herausfallende Zeile nicht wieder oben einfügt?

L 1a)
5-1 = 4

1b)
Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems der Form $R\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $R$ um eine Rechts-Dreiecksmatrix handelt?

L 1b)
Rückwärtseinsetzen.

1c)
Geben Sie die zu $r\cdot \mathrm{e}^{j\cdot w}$ konjugiert komplexe Zahl, ebenfalls in der Polarkoordinatenform an!

L 1c)
$r\cdot \mathrm{e}^{-j\cdot w}$

1d)
Für welche Elemente einer quadratischen Matrix, für welche $A^T = -A$ gilt, sind durch diese Bedingung die Zahlenwerte festgelegt?

L 1d)
Diagonalelemente alle 0.

2)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit dem Wert 5 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon n Werte (bzw. bis zum Rand) nebeneinander verschieden von Null sind. Auf der Diagonalen soll jedoch der Wert 10 stehen.

L 2)
 
M=zeros(2*n)
for zei= 1:2*n
for spa = max(1,zei-n):zei
M(zei,spa)=5
end
M(zei,zei)=10
end

3)
Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?
 
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
\sqrt{2}/2 & 0 &a & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
b & 0 & \sqrt{2}/2 & c \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)}$

L 3)
a=sqrt(2)/2 b=-sqrt(2)/2 oder a=-sqrt(2)/2 b=sqrt(2)/2 und c=0

4)
Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(8/0/0)$, $ B(0/6/0)$ und $C(0/0/6.4)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei F soll durch den Koordinatnursprung gehen und G soll doppelt so weit vom Ursprung entfernt sein wie E.

L 4)
en = [0.48 0.64 0.60]' ; d=3.84
E: en'*OP-3.84 = 0 , F: en'*OP = 0; G: en'*OP-7.68 = 0

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die Pfeil-Figur mit den Ecken $L =(0/5)$, $S=(-5/7)$, $R=(0/9)$ um 90$^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Spitze S dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten L'S'R'.

L 5)
S=[1 0 5 ; 0 1 -7 ; 0 0 1] ; R= [0 -1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 1]; B=[1 0 -5 ; 0 1 7 ; 0 0 1];
Ttot = B*R*S = [ 0 -1 2 ; 1 0 12 ; 0 0 1 ]; Ptrans = [-3 -5 -7 ; 12 7 12 ; 1 1 1]

6)
Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der y-Achse, welche durch die Punkte (-6/0/0) und (0/1/6) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L 6)
w = (0:0.0625:8)*pi; x = -6*cos(w) ; z = 6*sin(w); y = w*2/pi;
plot3(x, y, z,'g-o') axis equal


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2012-03-21