SS 2004 - Nachprüfung 1, 7.Juli2004

N   Ingenieurmathematik Nachprüfung 1 7.Juli2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Nennen Sie man einen Matrizen-Typ, bei welchem die Bedingung $A^T \cdot A ~=~A \cdot A^T$ erfüllt ist!

1b)

Erklären Sie den Begriff ``Pivot''-Element! (nur ganz kurz)

1c)

Wie bestimmt man die Inverse einer einzelnen einfachen Eliminationsmatrix? (Einheitsmatrix mit einem einzigen von Null verschiedenen Element im unteren Dreiecksbereich.)

1d)

Was wird gezeichnet, wenn Sie in MATLAB plot(M) mit einem einzigen Parameter M aufrufen, der eine nxm Matrix ist?

2)

Gegeben ist der Tetraeder ABCD durch $A(0/0/0)$, $B(6/3/0)$, $C(3/9/0)$, $D(6/6/9)$. Bestimmen sie die Ebene E durch die drei Schwerpunkte der Dreiecke ABC, ABD, ACD. und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei soll F durch den Koordinatenursprung gehen und G soll durch den Schwerpunkt des Dreiecks BCD gehen.

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript mit einer Doppelschleife, das in einer eine 2nx2n unteren Dreiecksmatrix jede zweite zur Diagonale parallelen Linie (also, die 2., 4., 6. ... parallele Linie), sowie die Diagonale selbst mit Werten füllt, welche der Summe beider Indizes entsprechen. Oberhalb der Diagonalen, und in der 1., 3. usw. Nebendiagonale unterhalb sind Nullen. (Mit Nebendiagolalen sind zur Diagonalen parallele Linien gemeint. Achtung im Papula ist die Beschreibung der Nebendiagonalen falsch!)

4)

Konstruieren Sie eine Pseudo-Zykloide mit der Form eines vierblättrigen Kleeblattes, indem Sie den Komplexen Einheitskreises 3 mal (im Gegenuhrzeigersinn) durchlaufen und währenddem das Zentrum dieses Kreises gleichmässig einmal im Uhrzeigersinn, ebenfalls um den Einheitskreis herum wandern lassen. Formulieren Sie das Erzeugen dieser Kleeblatt-Figur in MATLAB! Die Figur soll auf dem Bildschirm/Papier ohne Verzerrung dargestellt werden.

5)

Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L''-Figur mit den Ecken $A =(5/2)$, $B=(5/0)$, $C=(6/0)$ an der schiefstehenden Achse $y=-x+2$ spiegelt. Geben Sie auch die transformierten (bzw. gespiegelten) Koordinaten des ``L'' an!

6)

Wählen Sie von den 2 Lösungen einer archimedischen Spirale durch die 2 Punkte $P(0/-3)$ und $Q(0/5)$ diejenige aus, welche sich im Uhrzeigersinn öffnet, und geben Sie ein Matlab-Skript an, das diese Figur zwischen den Radien-Werten 0 und 12 zeichnet.