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WS 07/08 -Lösungen zur Prüfung 2, B, 8.Januar2008

B   Ingenieurmathematik Prüfung 2 8.Januar2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie eine 4x4 Matrix $\mathrm{S}$ an, welche bei Multiplikation von links her $(\mathrm{ S \cdot A }) $ alle Zeilen um einen Platz nach oben verschiebt, und zuunterst eine Zeile mit lauter Nullen erzeugt!

L1a)
$\left(
\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$

1b)
Wie kann man nachweisen, dass die Matrix der reinen Spiegelung an der x-Achse (ohne Translation!) in 2D homogenen Koordinaten eine orthogonale Matrix ist?

L1b)
Das Produkt M'*M ergibt die Einheitsmatrix I. Alle Diagonalelemente sind 1 oder minus 1, beides gibt quadriert plus 1.

1c)
Geben Sie die Buchstabengruppe an, mit der ein MATLAB-plot-Befehl sowohl eine durchgezogene blaue Linie als auch blaue Diagonalkreuze als Marker zeichnet!

L1c
plot(x,y,'b-x')

1d)
Durch welche Elemente aus einer R-Matrix muss beim Rückwärts-Einsetzen dividiert werden?

L1d
Durch die Diagonalelemente der R-Matrix, das sind gerade die Pivot-Elemente der Eliminationsphase.

2)
``Quadratische'' Spirale Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $r_0$ der(nicht in eine klassiche Kategorie einzureihenden) Spirale $r(w) = r_0 + a\cdot (w^2)$ aus der Bedingung, dass die Kurve durch die Punkte $(0.4 / 0)$ und $(-3.4/0)$ geht.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um zwei ganze Umgänge der Kurve in roter Farbe zu zeichnen und zusätzlich die vorgeschriebenen Punkte durch blaue Ringe zu markieren

L2)
% fuer w = 0 ist r = 0.4 
  r0 = 0.4
%  fuer w = pi ist r = 3.4
%  a*w*w ist also 3  
  a = 3/pi^2
w = (0:0.01:2)*2*pi
r = r0+ a*w.^2
polar(w,r,'r')
hold on
plot([0.4 -3.8] , [0 0], 'bo')
hold off

3)
Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform Vom Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten $A(-4/0/ 0)$ $B(4/0/ 0)$ $C(4/8/ 0)$ $D(-4/8/ 0)$, $E(-4/0/ 8)$ etc. sind die Ebenengleichungen aller sechs Quadratflächen (ABCD, EFGH; ABFE, DCGH; AEHD, BCGF) in Hesse'scher Normalform gesucht.

L3)
ABCD und EFGH sind horizontal, also ist der Normalenvektor in z-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung (Hoehenpositionen) sind 0 und 8\\
ABCD :   [ 0 0 1]' * OP = 0   ;  EFGH : [ 0 0 1] * OP - 8 = 0;\\
ABFE und DCGH sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
 der Normalenvektor ist in y-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung  sind 0 und 8\\
ABFE :   [ 0 1 0]' * OP   = 0   ;  DGCH : [ 0 1 0] * OP - 8 = 0;\\
AEHD und BCGF sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
 der Normalenvektor ist in y-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung  sind 0 und 4\\
AEHD :   [ 1 0 0]' * OP + 4  = 0   ;  BGCF : [ 1 0 0] * OP - 4 = 0;\\
% zur Verifikation: immer die Punkte die zur Ebene gehoeren geben Null
%   und selektieren dann den Buchstaben mit logischen Index-Array
W = [ -4 4 4 -4  -4 4 4 -4; 0 0 8 8 0 0 8 8; 0 0 0 0 8 8 8 8] ;
S = 'ABCDEFGH';
ebd = [0 0 1] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 0 1] * W - 8; S(ebd==0) 
ebd = [0 1 0] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 1 0] * W - 8; S(ebd==0)
ebd = [ 1 0 0] * W + 4 ; S(ebd==0) ,  ebd = [1 0 0] * W - 4 ; S(ebd==0)

4)
Homogene Koordinatentransformation in 2D Spiegeln Sie das Dreieck ABC $A=(-8/ 0)$ $B =(-8/ -4)$ $C= (-4/ -4)$ zuerst an der Geraden y = 2 und anschliesend die so gespiegelte Figur an der Geraden x = 0. Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten der Ebene an, und die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur nach der zweiten Spiegelung.

L4)
Dor = [ -8 -8 -4 -8; 0 -4 -4 0; 1 1 1  1]
Sz = [ 1 0 0; 0 1 -2; 0 0 1], Sb = [ 1 0 0; 0 1 2; 0 0 1], 
Mxax = [ 1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1], Myax = [ -1 0 0; 0 1 0; 0 0 1],
Tt = Myax*Sb*Mxax*Sz  % =  [ -1 0 0; 0 -1 4; 0 0 1]
Dt = Tt * Dor   % = [ 8 8 4 8; 4 8 8 4; 1 1 1 1]

5)
Polynom-Approximation der Cosinus-Funktion Im Bereich von -pi/6 bis +pi/6 soll die Cosinus-Funktion durch eine Parabel (Polynom 2. Grades) angenähert werden. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit welchem die besten Polynom-Koeffizienten nach folgendem Prinzip berechnet werden könnten: Neun Punkte mit gleichmässig verteilten x-Werten zwischen $ w_1 = -pi/6 $ und $ w_9 = pi/6 $ und den zugehörigen cosinus-Werten als $y_k$-Werten sollen die Parabel bestimmen.

L5)
xf = linspace(-pi/6, pi/6, 9)
yf = cos(xf)
A = [xf.^2; xf; ones(1,9)]' ; p = A\yf'
xc = -pi/4:0.01:pi/4
yc = p(1)*xc.^2 + p(2)*xc + p(3)
plot(xc,yc) ; hold on
plot(xf,yf,'ro'); hold off

6)
Optimierung mit der Lagrange Multiplikator- Methode Geben Sie das Gleichungssystem an, (ohne dieses zu lösen) für die Optimierung der Zielfunktion $F(x,y,z)$     (beachten Sie die vierte Wurzel!)

\begin{displaymath}
F(x,y,z) = \sqrt[4]{x^4 + y ^ 2 + z ^ 2}
\end{displaymath}

unter der Nebenbedingung

\begin{displaymath}
z^2 + 5 = y + x
\end{displaymath}

L6)
syms x y z w
L = (x^4 + y^2+ z^2)^(1/4)  + w*(-x-y+z^2 +5 )
diff(L,x)
%1/(x^4+y^2+z^2)^(3/4)*x^3-w
diff(L,y)
%1/2/(x^4+y^2+z^2)^(3/4)*y-w  
diff(L,z)
% 1/2/(x^4+y^2+z^2)^(3/4)*z+2*w*z
 diff(L,w)
%-x-y+z^2+5


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2012-03-21