- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Geben Sie eine 4x4 Matrix an, welche bei
Multiplikation von links her
alle Zeilen um einen Platz nach unten verschiebt, und
die unterste Zeile von A zuoberst wieder einfügt!
- L1a)
-
- 1b)
- Wie kann man nachweisen, dass die Matrix der reinen
Punktspiegelung am Koordinatenursprung
(ohne Translation!)
in 2D homogenen Koordinaten eine orthogonale Matrix ist?
- L1b)
- Das Produkt M'*M ergibt die Einheitsmatrix I. Alle Diagonalelemente
sind 1 oder minus 1, beides gibt quadriert plus 1.
- 1c)
- Geben Sie die Buchstabengruppe an, mit der ein MATLAB-plot-Befehl
an den mit den
Eingabevektoren angegebenen Koordinaten grüne Kreise als Marker
zeichnet ohne dazwischen die Linie zurchzuziehen!
- L1c
- plot(x,y,'go')
- 1d)
- Welche Aktion unternimmt man mit der Matrix, wenn man im Gauss-Algorithmus
(bzw. der L-R-Zerlegung) festgestellt
hat, dass ein Element in derselben Spalte weiter unten
sich besser als Pivot-Element eignen
würde als das aktuelle Diagonal-Element?
- L1d
- Man vertauscht die beiden Zeilen miteinander.
- 2)
- ``Quadratische'' Spirale
Bestimmen Sie die Parameter und der
(nicht in eine
klassiche Kategorie einzureihenden)
Spirale
aus der Bedingung, dass
die Kurve durch die Punkte und geht.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um zwei ganze Umgänge
der Kurve in schwarzer Farbe zu zeichnen und zusätzlich die
vorgeschriebenen Punkte durch grüne Diagonalkreuze zu markkieren
- L2)
% fuer w = 0 ist r = 0.5
r0 = 0.5
% fuer w = pi ist r = 2.5
% a*w*w ist also 2
a = 2/pi^2
w = (0:0.01:2)*2*pi
r = r0+ a*w.^2
polar(w,r,'k')
hold on
plot([0.5 -2.5] , [0 0], 'gx')
hold off
- 3)
- Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform
Vom Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten
, etc.
sind die Ebenengleichungen aller sechs Quadratflächen
(ABCD, EFGH; ABFE, DCGH; AEHD, BCGF)
in Hesse'scher Normalform gesucht.
- L3
ABCD und EFGH sind horizontal, also ist der Normalenvektor in z-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung (Hoehenpositionen) sind 0 und 6\\
ABCD : [ 0 0 1]' * OP = 0 ; EFGH : [ 0 0 1] * OP - 6 = 0;\\
ABFE und DCGH sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
der Normalenvektor ist in y-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung sind 0 und 6\\
ABFE : [ 0 1 0]' * OP = 0 ; DGCH : [ 0 1 0] * OP - 6 = 0;\\
AEHD und BCGF sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
der Normalenvektor ist in y-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung sind -3 und 3\\
AEHD : [ 1 0 0]' * OP +3 = 0 ; BGCF : [ 1 0 0] * OP - 3 = 0;\\
% zur Verifikation: immer die Punkte die zur Ebene gehoeren geben Null
% und selektieren dann den Buchstaben mit logischen Index-Array
W = [ -3 3 3 -3 -3 3 3 -3; 0 0 6 6 0 0 6 6; 0 0 0 0 6 6 6 6] ;
S = 'ABCDEFGH';
ebd = [0 0 1] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 0 1] * W - 6; S(ebd==0)
ebd = [0 1 0] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 1 0] * W - 6; S(ebd==0)
ebd = [ 1 0 0] * W + 3 ; S(ebd==0) , ebd = [1 0 0] * W - 3 ; S(ebd==0)
- 4)
- Homogene Koordinatentransformation in 2D
Spiegeln Sie das Dreieck ABC
zuerst an der Geraden x = 4
und anschliesend die so gespiegelte Figur an der Geraden y = 0.
Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen
Koordinaten der Ebene an, und
die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur
nach der zweiten Spiegelung.
- L4)
Dor = [ 0 -2 -2 0; -10 -8 -8 -10; 1 1 1 1]
Sz = [ 1 0 -4; 0 1 0; 0 0 1], Sb = [ 1 0 4; 0 1 0; 0 0 1],
Myax = [ -1 0 0; 0 1 0; 0 0 1], Mxax = [ 1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1],
Tt = Mxax*Sb*Myax*Sz % = [ -1 0 8; 0 -1 0; 0 0 1]
Dt = Tt * Dor % = [ 8 10 10 8; 10 8 8 10; 1 1 1 1]
- 5)
- Polynom-Approximation der Cosinus-Funktion
Im Bereich von -pi/4 bis +pi/4 soll die
Cosinus-Funktion durch eine Parabel (Polynom 2. Grades)
angenähert werden.
Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit welchem die besten
Polynom-Koeffizienten nach folgendem Prinzip berechnet werden könnten:
Neun Punkte mit gleichmässig verteilten x-Werten zwischen
und und den zugehörigen cosinus-Werten
als -Werten sollen die Parabel bestimmen.
- L5)
xf = linspace(-pi/4, pi/4, 9)
yf = cos(xf)
A = [xf.^2; xf; ones(1,9)]' ; p = A\yf'
xc = -pi/4:0.01:pi/4
yc = p(1)*xc.^2 + p(2)*xc + p(3)
plot(xc,yc) ; hold on
plot(xf,yf,'ro'); hold off
- 6)
- Optimierung mit der Lagrange Multiplikator- Methode
Geben Sie das Gleichungssystem an, (ohne dieses zu lösen)
für die Optimierung der Zielfunktion
(beachten Sie die vierte Wurzel!)
unter der Nebenbedingung
- L6)
syms x y z w
L = (x^2 + y^2)^(1/4) + z^2 + w*(-x-y+z^2 + 8)
diff(L,x)
% 1/2/(x^2+y^2)^(3/4)*x-w
diff(L,y)
% 1/2/(x^2+y^2)^(3/4)*y-w
diff(L,z)
% 2*z+2*w*z
diff(L,w)
% -x-y+z^2+8