WS 07/08 -Lösungen zur Prüfung 2, R-G-B-Y, 8.Januar2008

R   Lösungen zur Ingenieurmathematik Prüfung 2 8.Januar2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie eine 4x4 Matrix $\mathrm{S}$ an, welche bei Multiplikation von links her $(\mathrm{ S \cdot A })$ alle Zeilen um einen Platz nach oben verschiebt und die oberste Zeile von A zuunterst einfügt!

L1a)

$\left( \begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

1b)

Wie kann man nachweisen, dass die Matrix der reinen Spiegelung an der x-Achse (ohne Translation!) in 2D homogenen Koordinaten eine orthogonale Matrix ist?

L1b)

Das Produkt M'*M ergibt die Einheitsmatrix I. Alle Diagonalelemente sind 1 oder minus 1, beides gibt quadriert plus 1.

1c)

Geben Sie die Buchstabengruppe an, mit der ein MATLAB-plot-Befehl sowohl eine durchgezogene rote Linie als auch rote Kreise als Marker zeichnet!

L1c

plot(x,y,'r-o')

1d)

In welchem Teilschritt des Eliminations-Vorgangs in der L-R-Zerlegung und mit welcher arithmetischen Operation entstehen die zum Aufbau der L-Matrix verwendeten Zahlenwerte?

L1d

Die Eliminationsfaktoren aus denen die L-Matrix aufgebaut wird sind die Quotienten aus der Elementen unterhalb der Diagonale dividiert durch das zugehörige Pivot-Element.

2)

``Quadratische'' Spirale Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $r_0$ der (nicht in eine klassiche Kategorie einzureihenden) Spirale $r(w) = r_0 + a\cdot w ^2$ aus der Bedingung, dass die Kurve durch die Punkte $(0.8 / 0)$ und $(-2.8/0)$ geht.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um zwei ganze Umgänge der Kurve in schwarzer Farbe zu zeichnen und zusätzlich die vorgeschriebenen Punkte durch rote Ringe zu markieren

L2)

% fuer w = 0 ist r = 0.8 
  r0 = 0.8
%  fuer w = pi ist r = 2.8
%  a*w*w ist also 2  
  a = 2/pi^2
w = (0:0.01:2)*2*pi
r = r0+ a*w.^2
polar(w,r,'k')
hold on
plot([0.8 -2.8] , [0 0], 'ro')
hold off

3)

Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform Vom Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten $A(-2/0/ 0)$ $B(2/0/ 0)$ $C(2/4/ 0)$ $D(-2/4/ 0)$, $E(-2/0/ 4)$ etc. sind die Ebenengleichungen aller sechs Quadratflächen (ABCD, EFGH; ABFE, DCGH; AEHD, BCGF) in Hesse'scher Normalform gesucht.

L3

ABCD und EFGH sind horizontal, also ist der Normalenvektor in z-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung (Hoehenpositionen) sind 0 und 4\\
ABCD :   [ 0 0 1]' * OP = 0   ;  EFGH : [ 0 0 1] * OP - 4 = 0;\\
ABFE und DCGH sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
 der Normalenvektor ist in x-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung  sind 0 und 4\\
ABFE :   [ 0 1 0]' * OP   = 0   ;  DGCH : [ 0 1 0] * OP - 4 = 0;\\
AEHD und BCGF sind vertikal , parallel zur yz Ebene,
 der Normalenvektor ist in y-Richtung:\\
Deren Distanzen zum Ursprung  sind -2 und 2\\
AEHD :   [ 1 0 0]' * OP +2  = 0   ;  BGCF : [ 1 0 0] * OP - 2 = 0;\\
% zur Verifikation: immer die Punkte die zur Ebene gehoeren geben Null
%   und selektieren dann den Buchstaben mit logischen Index-Array
W = [ -2 2 2 -2  -2 2 2 -2; 0 0 4 4 0 0 4 4; 0 0 0 0 4 4 4 4] ;
S = 'ABCDEFGH';
ebd = [0 0 1] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 0 1] * W - 4; S(ebd==0) 
ebd = [0 1 0] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 1 0] * W - 4; S(ebd==0)
ebd = [ 1 0 0] * W + 2 ; S(ebd==0) ,  ebd = [1 0 0] * W - 2 ; S(ebd==0)

4)

Homogene Koordinatentransformation in 2D Spiegeln Sie das Dreieck ABC $A=(-10/ 0)$ $B =(-10/ -2)$ $C= (-8/ -2)$ zuerst an der Geraden y = 4 und anschliesend die so gespiegelte Figur an der Geraden x = 0. Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten der Ebene an, und die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur nach der zweiten Spiegelung.

L4)

Dor = [ -10 -10 -8 -10; 0 -2 -2 0; 1 1 1  1]
Sz = [ 1 0 0; 0 1 -4; 0 0 1], Sb = [ 1 0 0; 0 1 4; 0 0 1], 
Mxax = [ 1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1], Myax = [-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1],
Tt = Myax*Sb*Mxax*Sz  % Tt = [ -1 0 0; 0 -1 8; 0 0 1]
Dt = Tt * Dor  % Dt =  [ 10 10 8 10; 8 10 10 8; 1 1 1 1]

5)

Polynom-Approximation der Cosinus-Funktion Im Bereich von -pi/6 bis +pi/6 soll die Cosinus-Funktion durch eine Parabel (Polynom 2. Grades) angenähert werden. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit welchem die besten Polynom-Koeffizienten nach folgendem Prinzip berechnet werden könnten: Sieben Punkte mit gleichmässig verteilten x-Werten zwischen $w_1 = -pi/6$ und $w_7 = pi/6$ und den zugehörigen cosinus-Werten als $y_k$-Werten sollen die Parabel bestimmen.

L5)

xf = linspace(-pi/6, pi/6, 7)
yf = cos(xf)
A = [xf.^2; xf; ones(1,7)]' ; p = A\yf'
xc = -pi/4:0.01:pi/4
yc = p(1)*xc.^2 + p(2)*xc + p(3)
plot(xc,yc) ; hold on
plot(xf,yf,'ro'); hold off

6)

Optimierung mit der Lagrange Multiplikator- Methode Geben Sie das Gleichungssystem an, (ohne dieses zu lösen) für die Optimierung der Zielfunktion $F(x,y,z)$    (beachten Sie die vierte Wurzel!)

$$F(x,y,z) = \sqrt[4]{ y ^ 2 + z ^ 2} +x^2$$

unter der Nebenbedingung

$$y^2 + 10 = x + z$$

L6)

syms x y z w
L = (y^2 + z^2)^(1/4) + x^2 + w*(-x-z+y^2 + 10)
diff(L,x)
% 2*x-w
diff(L,y)
% 1/2/(y^2+z^2)^(3/4)*y+2*w*y
diff(L,z)
% 1/2/(y^2+z^2)^(3/4)*z-w
diff(L,w)
% -x-z+y^2+10