- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Geben Sie eine 4x4 Matrix an, welche bei
Multiplikation von links her
alle Zeilen um einen Platz nach unten verschiebt, und
zuoberst eine Zeile mit lauter Nullen erzeugt!
- L1a)
-
- 1b)
- Wie kann man nachweisen, dass die Matrix der reinen
Spiegelung an der y-Achse
(ohne Translation!)
in 2D homogenen Koordinaten eine orthogonale Matrix ist?
- L1b)
- Das Produkt M'*M ergibt die Einheitsmatrix I. Alle Diagonalelemente
sind 1 oder minus 1, beides gibt quadriert plus 1.
- 1c)
- Geben Sie die Buchstabengruppe an, mit der ein MATLAB-plot-Befehl
sowohl eine durchgezogene schwarze Linie als auch schwarze stehende
Kreuze als Marker
zeichnet!
- L1c
- plot(x,y,'k-+')
- 1d)
- Wieso ist die Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemnen
nach der Kramerschen Regel für grosse Gleichungssysteme
nicht zu empfehlen?
- L1d
- Weil der Rechenaufwand im Vergleich zu den gebräuchlichen
Algorithmen, wie z.B. Gauss-Elimination, viel zu stark ansteigt mit
steigender Anzahl der Unbekannten.
- 2)
- ``Quadratische'' Spirale
Bestimmen Sie die Parameter und der (nicht in eine
klassiche Kategorie einzureihenden)
Spirale
aus der Bedingung, dass
die Kurve durch die Punkte und geht.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um zwei ganze Umgänge
der Kurve in schwarzer Farbe zu zeichnen und zusätzlich die
vorgeschriebenen Punkte durch rote Ringe zu markkieren
- L2)
% fuer w = 0 ist r = 0.2
r0 = 0.2
% fuer w = pi ist r = 3.2
% a*w*w ist also 3
a = 3/pi^2
w = (0:0.01:2)*2*pi
r = r0+ a*w.^2
polar(w,r,'k')
hold on
plot([0.2 -3.2] , [0 0], 'ro')
hold off
- 3)
- Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform
Vom Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten
, etc.
(ABCD, EFGH; ABFE, DCGH; AEHD, BCGF)
sind die Ebenengleichungen aller sechs Quadratflächen
in Hesse'scher Normalform gesucht.
- L3)
ABCD und EFGH sind horizontal, also ist der Normalenvektor in z-Richtung:
Deren Distanzen zum Ursprung (Hoehenpositionen) sind 0 und 2
ABCD : [ 0 0 1]' * OP = 0 ; EFGH : [ 0 0 1] * OP - 2= 0;
ABFE und DCGH sind vertikal , parallel zur xz Ebene,
der Normalenvektor ist in y-Richtung:
Deren Distanzen zum Ursprung sind 0 und 2
ABFE : [ 0 1 0]' * OP = 0 ; DGCH : [ 0 1 0] * OP - 2 = 0;
AEHD und BCGF sind vertikal , parallel zur yz Ebene
der Normalenvektor ist in x-Richtung:
Deren Distanzen zum Ursprung sind -1 und 1
AEHD : [ 1 0 0]' * OP + 1 = 0 ; BGCF : [ 1 0 0] * OP - 1 = 0;
% zur Verifikation: immer die Punkte die zur Ebene gehoeren geben Null
% und selektieren dann den Buchstaben mit logischen Index-Array
W = [ -1 1 1 -1 -1 1 1 -1; 0 0 2 2 0 0 2 2; 0 0 0 0 2 2 2 2] ;
S = 'ABCDEFGH';
ebd = [0 0 1] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 0 1] * W - 2; S(ebd==0)
ebd = [0 1 0] * W ; S(ebd==0) , ebd = [0 1 0] * W - 2; S(ebd==0)
ebd = [ 1 0 0] * W + 1 ; S(ebd==0) , ebd = [1 0 0] * W - 1 ; S(ebd==0)
- 4)
- Homogene Koordinatentransformation in 2D
Spiegeln Sie das Dreieck ABC
zuerst an der Geraden x = 2
und anschliesend die so gespiegelte Figur an der Geraden y = 0.
Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen
Koordinaten der Ebene an, und
die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur
nach der zweiten Spiegelung.
- L4)
Dor = [ 0 -4 -4 0; -8 -8 -4 -8; 1 1 1 1]
Sz = [ 1 0 -2; 0 1 0; 0 0 1], Sb = [ 1 0 2; 0 1 0; 0 0 1],
Myax = [ -1 0 0; 0 1 0; 0 0 1], Mxax = [ 1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1],
Tt = Mxax*Sb*Myax*Sz % = [ -1 0 4; 0 -1 0; 0 0 1]
Dt = Tt * Dor % = [ 4 8 8 4; 8 8 4 8; 1 1 1 1]
- 5)
- Polynom-Approximation der Cosinus-Funktion
Im Bereich von -pi/4 bis +pi/4 soll die
Cosinus-Funktion durch eine Parabel (Polynom 2. Grades)
angenähert werden.
Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit welchem die besten
Polynom-Koeffizienten nach folgendem Prinzip berechnet werden könnten:
Sieben Punkte mit gleichmässig verteilten x-Werten zwischen
und und den zugehörigen cosinus-Werten
als -Werten sollen die Parabel bestimmen.
- L5)
xf = linspace(-pi/4, pi/4, 7)
yf = cos(xf)
A = [xf.^2; xf; ones(1,7)]' ; p = A\yf'
xc = -pi/4:0.01:pi/4
yc = p(1)*xc.^2 + p(2)*xc + p(3)
plot(xc,yc) ; hold on
plot(xf,yf,'ro'); hold off
- 6)
- Optimierung mit der Lagrange Multiplikator- Methode
Geben Sie das Gleichungssystem an, (ohne dieses zu lösen)
für die Optimierung der Zielfunktion
(beachten Sie die vierte Wurzel!)
unter der Nebenbedingung
- L6)
syms x y z w
L = (x^2 + y^2+ z^4)^(1/4) + w*(-z-y+x^2 +10 )
diff(L,x)
% 1/2/(x^2+y^2+z^4)^(3/4)*x+2*w*x
diff(L,y)
% 1/2/(x^2+y^2+z^4)^(3/4)*y-w
diff(L,z)
% 1/(x^2+y^2+z^4)^(3/4)*z^3-w
diff(L,w)
% -z-y+x^2+10