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SS 2005 - Prüfung 1, G, 29.Juni2005

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 29.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Welcher Typ Matrix entsteht aus einer breiten Rechtecksmatrix durch Transponieren?

1b)
Geben Sie eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A an, so dass gilt: S+A = [7, 0 ; -6 2 ].

1c)
Welches ist der maximal mögliche Rang einer 9x5 Matrix?

1d)
Geben Sie in der Ebene einen zum Vektor [2, 5]' senkrechten Vektor an.

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrr}
d_4 & 0 & d_1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0...
...\
d_1 & d_2 & d_3 & d_4
\end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 3nx3n obere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit den Werten 3 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und rechts davon bis zu n nebeneinander liegende Werte verschieden von Null sind (natürlich höchstens bis zum Rand). Das umfasst n-1 Nebendiagonalen und die Diagonale selbst.

4)
Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(12/0/0)$, $ B(0/9.6/0)$ und $C(0/0/9)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichung der zu E parallelen Ebene F an, welche die Punktspiegelung von E am Koordinatenursprung ist.

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Dreieck ABC mit den Ecken $ A =(4/0)$, $B=(4/6)$, $C=(1/3)$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'.

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der x-Achse, welche durch die Punkte (0/0/3) und (10/0/3) gehen und dazwischen 5 Umgänge haben, so, dass die eine rechtsgängig und die andere linksgängig ist. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.


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2012-03-21