SS 2005 - Prüfung 1, B, 29.Juni2005

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 29.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welcher Typ Matrix entsteht aus einer Rechts-Dreiecksmatrix durch Transponieren?

1b)

Geben Sie in der Ebene einen zum Vektor [-3, 4]' senkrechten Vektor an.

1c)

Geben Sie eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A an, so dass gilt: S+A = [0, -5 ; 3, 7 ].

1d)

Welches ist der maximal mögliche Rang einer 3x4 Matrix?

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ ... ...\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 4nx4n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit den Werten 3 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon bis zu n nebeneinander liegende Werte verschieden von Null sind (natürlich höchstens bis zum Rand). Das umfasst n-1 Nebendiagonalen und die Diagonale selbst.

4)

Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(6/0/0)$, $B(0/4.5/0)$ und $C(0/0/4.8)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichung der zu E parallelen Ebene F an, welche die Punktspiegelung von E am Koordinatenursprung ist.

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Dreieck ABC mit den Ecken $A =(8/0)$, $B=(8/4)$, $C=(6/2)$ um $90^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'.

6)

Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der y-Achse, welche durch die Punkte (0/0/5) und (0/8/5) gehen und dazwischen 4 Umgänge haben, so, dass die eine rechtsgängig und die andere linksgängig ist. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.