SS 2004 - Lösungen zur Prüfung 2, Y, 18.Aug.2004

Y   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 2 18.August2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie nennt man die speziellen Lösungsverfahren, welche ein Gleichungssystem effizient lösen, falls die zugehörige Matrix eine Rechts- oder eine Linksdreiecksmatrix ist.

L 1a)

Rückwärtseinsetzen, Vorwärtseinsetzen

1b)

Wie lautet der MATLAB-Befehl, um die zu zeichnenden Punkte mit den Koordinatenvektoren xpl und ypl in einem Plot-Aufruf durch magentarote Kreuze zu markieren?

L 1a)

plot(xpl,ypl,'m+') oder plot(xpl,ypl,'mx')

1c)

Geben Sie zwei arithmetische Operationen an, welche aus einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl ein reelles Resultat erzeugen!

L 1c)

$z +\overline{z}$ und $z*\overline{z}$

1d)

Wieviele Nullen hat es in einer nxn Permutationsmatrix?

L 1d)

n*n-n

2)

Ein Turm einer modernen Kirche hat den Grundriss eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge von 6 m. Bei der Spitze, über dem rechten Winkel des Grundrisses ist das Kirchturmdach 4 m höher als bei der Unterkante, welche die beiden anderen Ecken horizontal verbindet. Berechnen Sie den wahren Neigungswinkel dieses Daches!

L 2)

n = cross([6 0 -4], [0 6 -4]') = [24 24 36]';
w=180/pi*acos(n'*[0 0 1]'/norm(n)) = 43.31$^{\mathrm{o}}$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das bei vorgegebenem n eine nxn obere Dreiecksmatrix mit den Werten 2 füllt, jedoch von links oben beginnend nur so weit als noch gilt: $\mathrm{ (Zeilennummer)^2 + (Spaltennummer)^2 < 1.5*n^2}$

L 3)

n=8; M=zeros(n);
for zei = 1:n
  for spa = zei:n
    if (zei^2 + spa^2)<1.5*n^2
      M(zei,spa) = 2; 
    end
  end
end

4)

Ein (rechtwinkliger) Quader hat die Seitenlängen 6,12 und 3 in x,y und z-Richtung (6 in x, 12 in y, 3 in z). Die Ecken werden in der unteren Ebene (z=0) im Gegenuhrzeigersinn mit ABCD bezeichnet und korrespondierend in der oberen (z=3) mit EFGH. A sei im Nullpunkt. Bestimmen Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene durch die Punkte B,D,E und berechnen Sie alle Abstände der weiteren Quader-Eckpunkte von dieser Ebene.

L 4)

n=cross([6 0 -3]', [0 12 -3]'); en=[0.4364 0.2182 0.8729]';
en'*OP -2.6186 = 0 ; dA = -2.6186 ; dC,F,H = 2.6186 ; dG = 5,2372

5)

Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L'' -Figur (2/2) (2/0) (3/0) zuerst an der Geraden y=5 spiegeln und das Bild der ersten Abbildung um den Drehpunkt (2/10) um +90$^{\mathrm{o}}$  drehen.

L 5)

T1 = [1 0  0; 0 1  -5; 0 0 1]; Mx = [1  0 0; 0 -1 0; 0 0 1];
T2 = [1 0  0; 0 1   5; 0 0 1]; L =  [2  2 3; 2  0 0; 1 1 1]
T3 = [1 0 -2; 0 1 -10; 0 0 1]; R =  [0 -1 0; 1  0 0; 0 0 1];
T4 = [1 0  2; 0 1  10; 0 0 1]
Ttot = T4*R*T3 * T2*Mx*T1  % = [ 0 1 2; 1 0 8 ; 0 0 1];
%  Ltr = [4 2 2; 10 10 11; 1 1 1]

6)

Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F$ an für die Funktion
$F(x,y,z) = \sqrt{x} \cdot (x^2 + 1/y^2 + y^2/z^2)$.

L6)

$$\begin{array}{lcl} \Delta F &=& (~ 1/(2\sqrt{x}) \cdot (x^2 ... ... \sqrt{x} \cdot ( -2y^2/z^3) \cdot \Delta z ~+~\\ \end{array}$$