SS 03 - Lösungen zur Prüfung 2, B, 20.Aug.2003

B   Ingenieurmathematik Prüfung 2 20.August2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie ermöglicht man die simultane Rückgabe von zwei verschiedenartigen Resultat-Grössen durch eine Matlab-Funktion?

L:

Mit dem Aufruf [Res1, Res2] = funktion(Parameter)

1b)

Wozu dient im Zusammenhang mit der Faltung das ``zero padding'' (Anhängen von Nullen)?

L:

Um bei beiden Eingabe Folgen die Länge des Resultates der gewöhnlichen Faltung zu erreichen und diese damit auf eine zirkuläre Faltung zurückzuführen.

1c)

Geben sie alle Lösungen zur Gleichung $z^2 = i$.

L:

exp(j*pi/4), exp(j*5*pi/4)

1d)

Geben Sie die Dimensionen der beiden Resultate der Mutliplikation einer nxm Rechtecksmatrix A mit sich selbst: A'*A und A*A'.

L:

A'*A ist mxm und A*A' ist nxn

2)

Stellen Sie das Gleichungssystem auf für den Geradenfit $a \cdot x + b$ an die drei Punkte
$(-2 / r)$, $(0 / 0)$ und $(1 / s)$. (r und s sind noch nicht festgelegte Parameter, welche in den Gleichungen enthalten sein werden.)

L:

x = [-2 0 1]; y = [r 0 s]; M = [sx2 sx; sx 3] = [5 -1; -1 3]
b = [s-2*r, r+s]'; [a,b] = M;

3)

Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform der Ebene durch die drei Punkte A(0/0/14) , B(6/0/6) , C(0/6/6) und bestimmen Sie die Durchstosspunkte der x- und y-Achsen durch diese Ebene.

L:

A = [0 0 14]'; B=[6 0 6]'; C=[0 6 6]'
n = cross(B-A,C-A), ne = n/norm(n), d = ne'*A
%n =[ 48 48 36]; ne = [0.6247 0.6247 0.4685]'; d= 6.5593
 xs = d/ne(1) ;  Sx = [ xs 0 0]', ne'*Sx-d % xs = 10.5 
 ys = d/ne(2) ;  Sy = [ 0 ys 0]', ne'*Sy-d % ys = 10.5 

4)

Suchen Sie die speziellen Permutationsmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & a_4& 0 & a_3 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\... ... c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr }$$

L:

$${ Pl = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0... ... 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) }$$

5)

Suchen Sie die drei Gesamt-Transformations-Matrizen, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Rechteck A(0/0) B(3/0) C(3/6) D(0/6) in die drei übrigen Rechtecke transformiert, so dass die Umhüllung der vier Rechtecke das Quadrat (0/0) (0/9) (9/9) (9/0) bildet und die benachbarten Rechtecke sich nur berühren aber nicht überlappen.

L:

Rur = [0 3 3 0 0; 0 0 6 6 0; 1 1 1 1 1];
T1 = [1 0 -4.5; 0 1 -4.5; 0 0 1]; RTb = [0 1 4.5; -1 0 4.5; 0 0 1];
TT = RTb*T1    % TT=   [0 1 0; -1 0 12; 0 0 1]
R1 = TT*Rur, R2 = TT^2*Rur, R3=TT^3*Rur, hold on
plot(Rur(1,:),Rur(2,:),'k'); plot(R1(1,:),R1(2,:),'r'); 
plot(R2(1,:),R2(2,:),'g'); plot(R3(1,:),R3(2,:),'b');
axis([-1 11 -1 11]); axis square; hold off

6)

Geben Sie die (vektorwertige) Gradient-Funktion zur folgenden Funktion von zwei Variabeln an:
$${ F(x,y) = ((x-y)\cdot(x+y))^4}$$

L:

$${ grad(F(x,y)) = \left( \begin{array}{lll} 4(x^2-y^2)^3\cdot 2x \\ -4(x^2-y^2)^3\cdot 2y \end{array}\right) }$$