FS 08 - Lösung zur Ersatzprüfung vom 13.Mai2008

E   Ingenieurmathematik Ersatzprüfung 13.Mai2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie die 3x3 Turmmatrix an, welche beim Multiplizieren von links die erste und dritte Zeile der rechts stehenden Matrix geneneinander vertauscht!

L1a)

[0 0 1; 0 1 0; 1 0 0]

1b)

Bestimmen Sie eine Folge zv, von 4 komplexen Zahlen, mit welcher ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck mit Schenkel-Länge $\sqrt{2}$ durch den einfachen Aufruf von plot(zv) gezeichnet werden kann.

L1b)

zv = [1 j -1 1]

1c)

Wie erreicht man, dass plot() eine rotviolette punktierte Linie zeichnet?

L1c)

[plot(x,y,':m')

1d)

Wie findet man die Inverse zu einer Eliminationsmatrix?

L1d)

Indem man das (ev. die - falls alle in derselben Spalte sind) Vorzeichen der Elemente unterhalb der Dagonalen umkehrt.

2)

MATLAB-Funktion Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine eingegebene Matrix daraufhin testet, ob diese antisymmetrisch ist. Der Rückgabe-Wert soll Eins sein für antisymmetrisch und Null sonst.

L2)

function isas = isantisymm(A)
isas = true
[nz,ns] = size(A);
if nz ~= ns
  isas = false
  return
else
  for zei = 1:nz
    for spa = zei:ns
      if A(zei,spa) ~= A(spa,zei)
         isas = false
         return
      end
    end
  end
 
end

3)

Spezielle Ebenen in Hesse'scher Normalform Bei einem Würfel ABCD EFGH mit den Koordinaten
$A(0/0/0)$, $B(5/0/0)$, $C(5/5/0)$, $D(0/5/0)$,     $E(0/0/5)$, $F(5/0/5)$, $G(5/5/5)$, $H(0/5/5)$,
sind 2 Ebenengleichungen in Hesse'scher Normalform gesucht: Ebene $s$ durch $A$, $D$ und den Mittelpunkt zwischen $G$ und $C$, Ebene $t$ durch $B$, $C$ und den Mittelpunkt zwischen $A$ und $E$. Berechnen Sie auch den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen!

L3)

OA = [0 0 0]'; OD = [0 5 0]'; OC = [5 5 0]'; OG = [5 5 5]';
OMC =  0.5*(OG+OC), v = OMC ,w = OD 
ns = cross( OMC - OA,OD-OA), ens = ns/norm(ns)  % ens = [-0.4472  0  0.8944]'
dkrits = ens'*OA  % Ebene s   ens'*OP = 0, dkrits = 0 weil Ebene durch A
OB = [5 0 0]'; OC = [5 5 0]'; OA = [0 0 0]'; OE = [0 0 5]';
OMA = 0.5*(OE+OA) , v = OMA-OB, w = OC-OB 
nt = cross(OC-OB, OMA - OB), ent  = nt/norm(nt) % ent = [0.4472  0  0.8944]'
dkritt = ent'*OB % Ebene t   ent'*OP - 2.2361 = 0, dkritt = 2.2361
spn = ent'*ens
acos(spn)*180/pi   %  = 53.1301 Grad

4)

Homogene Koordinatentransformation in 2D Spiegeln Sie das ``L'' (5/2), (5/0), (6/0) an seiner längeren Seite! Geben Sie Sie dazu alle Teil-Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten der Ebene an, und die Gesamt-Transformations-Matrix, sowie die Koordinaten der Bildfigur.

L4)

Lur = [5 5 6; 2 0 0; 1 1 1]; 
Tz = [1 0 -5; 0 1 0; 0 0 1]
M = [-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0  5; 0 1 0; 0 0 1]
TT = Tb*M*Tz
Ltr = TT*Lur

5)

Spezieller Geradenfit Durch die 2 Punkte $(-2/3)$, und $(2/-1)$, ist eine Gerade exakt bestimmt. Stellen Sie für diesen Fall trotzdem die Normalengleichungen zum Geradenfit auf, und lösen Sie diese.
Zeigen Sie dass der Fit dieselbe Gerade liefert wie das übliche Legen einer Geraden duch zwei Punkte.

L5)

   x  y   x^2  xy         Ngl
  -2  3   4    -6             8   0     a      -8   a = -1 
   2 -1   4    -2                    *     = 
-------------------           0   2     b       2   b = 1
   0  2   8    -8

 2Pt  a = dx/dy = (-1 - 3)/(2 - -2)  = -1,   b = 3 + (-1)*2 = 1

6)

Gradient und Höhenlinien Bestimmen Sie für die untenstehende Höhenfunktion allgemein analytich den Gradient-Vektor als Funktion von $x$ und $y$ und bestimmen Sie die drei Vektoren, die in den Punkten A[0;-1;h(0,-1)],   B[2;0;h(2,0)] und C[1;1;h(1,1)] der Höhenlinie entlang verlaufen (Fachausdruck: tangential zur Höhenlinie verlaufen).

$$h(x,y) = 10 - 2x^2 - 3y^2$$

L6)

$\partial h / \partial x = -4x$ , $\partial h / \partial y = -6y$ ,
$A (0/-1/7) ,~~ g = [0 6 ]', ~~ hlv = [ 6 0]'$
$B (2/0/2) ,~~ g = [8 0 ]', ~~ hlv = [ 0 8]'$
$C (1/1/5) ,~~ g = [-4 -6]', ~~ hlv = [ -6 4]'$