FS 08 - Prüfung 1, B, 8. April 2008

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 8.April2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie einen Vektor zv (eine Folge) von komplexen Zahlen an, so dass plot(zv); axis equal ein auf der Spitze stehendes Quadrat mit der Seitenlänge 2 zeichnet.

1b)

Bestimmen Sie die Zahlen n und m , so dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(4x6)*B(6x4)*C(nx5)*D(mx2)

1c)

Geben Sie eine 3x3 Turm-Matrix an, für welche gilt $T^3 = I$ (I = Einheitsmatrix)

1d)

Beschreiben Sie wie man die Matrix $G =(E\cdot F)^{-1}$ berechnet, aus der Angabe dass E = [1 0 0; -0.2 1 0; 0 0 1] und F = [1 0 0; 0 1 0; 0 0.5 1] gilt.

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$${ \left( \begin{array}{rrrrr} e_5 & 0 & e_1 & e_4 & 0 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

$$(z-i)^4 + 4 = 0$$

4)

Gegeben ist der Quader $A(-1/0/0)$ $B(-1/2/0)$ $C(2/2/0)$ $D(2/0/0)$ $E(-1/0/1)$ $F(-1/2/1)$ $G(2/2/1)$ $H(2/0/1)$. Berechnen Sie die Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren AC und AG , sowie $\beta$ zwischen AH und AG

5)

Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der beiden Schraubenlinien (eine rechts- und eine links-Schraube) die beide im Punkt $0/0/0$ starten, durch die durch die Punkte $(0/2/1)$ $(0/0/2)$ und $(0/2/3)$ gehen und beim Punkt $(0/0/4)$ enden. Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um die rechts-Schraube schwarz, die links-Schraube rot und die angegebenen Punkte als grüne Ringe zu zeichnen.

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das Rechteck ABCD ($A(1/3)$, $B(11/3)$ ,$C(11/7)$, $D(1/7)$,) um $-90^{\mathrm{o}}$  um seinen Mittelpunkt dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Rechtecks an.