WS 1999/1000 - Prüfung 2, 23.Feb.2000

Prüfung 2, Ingenieurmathematik 5.Sem 23.Feb.2000
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Punkte = Note 6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie die Berechnungs-Schritte an, mit denen eine zirkuläre Faltung effizient bestimmt werden kann!

1b)

Für welche Arten von mathematischen Problemen setzt man das Newton'sche Iterations-Verfahren ein?

1c)

Wie lautet die Bedingung, dass die Funktion von 3 Variablen $F(x,y,z)$ einen stationären Punkt aufweist?

1c)

Was bewirkt das Anfügen eines Strichpunktes am Ende einer Zeile in einem
MATLAB m-File?

2)

Geben Sie ein m-File an, das die beiden Schrauben-Linien des linken und rechten Randes der Fahrbahn einer Parkhaus-Auffahrt mit dem Befehl ``plot3(xarray,yarray,zarray)'' graphisch darstellt? Parameter: Durchmesser des inneren Randes = 12 Meter, des äusseren Randes 18 Meter. Einfahrts-Höhe = 0 m, Stockwerk-Abstand = 4 m, 3 Parkier-Plattformen plus Parterre.

3)

Von der $2\times2$ Matrix $\textbf{M}$ sind die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren bekannt:

$$\textbf{M} = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1 ... ...egin{array}{r} -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{array}\right)$$

Benutzen Sie diese Angaben für die Bestimmung der allgemeinen Formel zur Berechnung der Abbildung eines beliebigen Vektors $v$ mit der Matrix $\textbf{M}^n$ , also für $v_{it(n)} = \textbf{M}^n v$ mit einem allgemeinen Exponenten $n$ .

4)

Zur Funktion $${ F(x,y) = \frac{\sin(x) \cdot \sin(y)}{x \cdot y}}$$ soll die zugehörige Funktion $${ \mathrm{grad} F(x,y) }$$ allgemein bestimmt werden, sowie das Gleichungs-System, welches das Maximum dieser Funktion unter der Bedingung $y = x-2$ nach dem Lagrange-Verfahren bestimmt. (Das Gleichungs-System ist nur zu bestimmen, aber nicht zu lösen!)

5)

Bestimmen Sie das totale Differential der Hagen-Poiseuille'schen Funktion für den Volumen-Durchsatz durch ein dünnes Rohr $V(\Delta p, t, r, \nu, \ell)$ (Druckdifferenz, Zeitabschnitt, Innenradius, Viskosität, Rohrlänge)

$$V = \frac{\pi \cdot \Delta p \cdot t \cdot r^4 }{ 8 \cdot \nu \cdot \ell }$$

6)

Stellen Sie das Gleichungs-System auf für den Fit einer verallgemeinerten Kettenlinie: $y(x) = A \cdot \mathrm{e}^x + B \cdot \mathrm{e}^{-x} + C$ an eine Serie von n Punkten $x_i, y_i, i = 1 \ldots n$