SS 06 - Lösungen zur Prüfung 1, B, 28. Juni 2006

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.Juni2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Warum ist die Formel der Kramer'schen Regel für die praktische Lösung von grösseren linearen Gleichungssystemen ungeeignet?

L)

Weil der Aufwand zur Auswertung der Formel enorm stark ansteigt ($n!$), viel viel stärker als z. B. bei der Gauss-Elimination ($n^3$).

1b)

Bestimmen Sie die zwei Resultate: Skalarprodukt der Vektoren $v = [-1 ~ 1]'$ und $w = [1 ~ 1]'$, sowie das Produkt der komplexen Zahlen $z_v = -1+j$ und $z_w = 1+j$. Daraus sehen Sie, dass das Skalarprodukt und die komplexe Multiplikation prinzipiell verschieden sind.

L)

-1*1 + 1*1 = 0 $z_v\cdot z_w = -2$

1c)

Wie heissen die MATLAB Funktionen zur Berechung des grössten gemeinsamen Teilers und zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen?

L)

gcd(z1,z2) , lcm(z1,z2)

1d)

Wieviele Begegnungen gibt es bei einer einfachen Turnier-Runde (keine Hin- und Rückspiele) von n Teilnehmern?

L)

n*(n-1)/2

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & e_4 & e_1 & 0 & e_5 \\ 0 & 0 ... ... & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L)

Pl3 = [0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0]
Pr3 = [0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1]

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

$$z^2 -4+4j = 0$$

L)

$2\sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{(-\pi\cdot 1/8+k\cdot \pi)}$

4)

Gegeben ist der (nicht reguläre) Tetraeder ABCD durch die Punkte $A(0/0/0)$, $B(12/0/0)$ und $C(6/9/0)$, $D(6/3/8)$ . Geben Sie die Gleichung in der Hesse'schen Normalform an für die mittelsenkrechte Ebene zur Strecke CD. Berechnen Sie zusätzlich die Abstände aller Tetraeder-Ecken von dieser Ebene.

L)

M= [6 6 4]' en = [ 0 -0.6 0.8]
Distanzen: A,B: d=0.4 , C: d= -5, D: d=5

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $A =(6/-2)$, $B=(12/-2)$, $C=(12/4)$, $D=(6/4)$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke D dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

L)

T1 = [1 0 -6; 0 1 -4;0 0 1];   T2 = [0 1 0; -1 0 0 ; 0 0 1];
T3 =  [1 0 6; 0 1 4;0 0 1]; TT = T3*T2*T1 % =[0 1 2; -1 0 10 ; 0 0 1]; 
Q = [6 12 12 6 6; -2 -2 4 4 -2; 1 1 1 1 1]; QT = TT*Q;
plot(Q(1,:),Q(2,:)); hold on; plot(QT(1,:),QT(2,:),'r');
axis([-15 15 -15 15]); axis square; hold off

6)

Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der y-Achse, welche beide im Punkt (4/0/0) starten, wobei die rechtsdrehende Schraubenlinie 5 Umgänge in die $+y$ Richtung hat, und die linksdrehende ebensoviele in die $-y$ Richtung aufweist, beide mit einer Ganghöhe 0.6. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese in derselben Grafik zu zeichnen.

L)

w=(0:0.02:5)*2*pi; x= 4*cos(w); z= -4*sin(w); yr= w*0.6/2/pi; yl = -yr;
clf; plot3(x,yr,z); hold on; plot3(x,yl,z,'m'); axis equal; hold off