SS 06 - Lösungen zur Prüfung 1, G, 28. Juni 2006

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.Juni2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wie heissen die MATLAB Funktionen zur Berechung des grössten gemeinsamen Teilers und zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen?

L)

gcd(z1,z2) , lcm(z1,z2)

1b)

Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei die x-Werte zwischen $-7$ und $14$  und die y-Werte zwischen $0$ und $21$  variieren?

L)

axis([-7 14 0 21]) ; axis square

1c)

Bestimmen Sie die zwei Resultate: Skalarprodukt der Vektoren $v = [1 ~ 1]'$ und $w = [-1 ~ 1]'$, sowie das Produkt der komplexen Zahlen $z_v = 1+j$ und $z_w = -1+j$. Daraus sehen Sie, dass das Skalarprodukt und die komplexe Multiplikation prinzipiell verschieden sind.

L)

1*-1 + 1*1 = 0 $z_v\cdot z_w = -2$

1d)

Warum ist die Formel der Kramer'schen Regel für die praktische Lösung von grösseren linearen Gleichungssystemen ungeeignet?

L)

Weil der Aufwand zur Auswertung der Formel enorm stark ansteigt ($n!$), viel viel stärker als z. B. bei der Gauss-Elimination ($n^3$).

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} b_4 & b_2 & b_1 & 0 & 0\\ e_4 & e_... ... & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L)

Pl2 = [0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0]
Pr2 = [0 0 1 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0]

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

$$z^2 +9+9j = 0$$

L)

$3\sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{(-\pi\cdot 3/8+k\cdot \pi)}$

4)

Gegeben ist der (nicht reguläre) Tetraeder ABCD durch die Punkte $A(0/0/0)$, $B(0/10/0)$ und $C(-9/6/0)$, $D(-3/6/8)$ . Geben Sie die Gleichung in der Hesse'schen Normalform an für die mittelsenkrechte Ebene zur Strecke CD. Berechnen Sie zusätzlich die Abstände aller Tetraeder-Ecken von dieser Ebene.

L)

M= [-6 6 4]' en = [0.6 0 0.8]
Distanzen: A,B: d=0.4 , C: d= -5, D: d=5

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $A =(-2/6)$, $B=(4/6)$, $C=(4/12)$, $D=(-2/12)$ um $+90^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

L)

T1 = [1 0 -4; 0 1 -6;0 0 1];   T2 = [0 -1 0; 1 0 0 ; 0 0 1];
T3 =  [1 0 4; 0 1 6;0 0 1]; TT = T3*T2*T1 % =[0 -1 10; 1 0 2 ; 0 0 1]; 
Q = [-2 4 4 -2 -2; 6 6 12 12  6; 1 1 1 1 1]; QT = TT*Q;
plot(Q(1,:),Q(2,:)); hold on; plot(QT(1,:),QT(2,:),'r');
axis([-15 15 -15 15]); axis square; hold off

6)

Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der x-Achse, welche beide im Punkt (0/8/0) starten, wobei die rechtsdrehende Schraubenlinie 5 Umgänge in die $+x$ Richtung hat, und die linksdrehende ebensoviele in die $-x$ Richtung aufweist, beide mit einer Ganghöhe 1.2. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese in derselben Grafik zu zeichnen.

L)

w=(0:0.02:5)*2*pi; y= 8*cos(w); z= 8*sin(w); xr= w*1.2/2/pi; xl = -xr;
clf; plot3(xr,y,z); hold on; plot3(xl,y,z,'m'); axis equal; hold off