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SS 2005 - Nachprüfung 24.August2005

N   Ingenieurmathematik Nachprüfung 24.August2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Wie nennt man den Matrizen-Typ, bei welchem die Bedingung $A^T ~= ~ -A $ erfüllt ist!

1b)
Wie nennt man die weiteren Lösungsschritte , wenn zu einer Matrix eine L und eine R Matrix aus der LR-Zerlegung vorhanden ist, und ein neuer Vektor der rechten Seiten b vorliegt?

1c)
Welche Bedingungen müssen an einem Punkt bei einer Funktion von mehreren Variablen erfüllt sein, damit dieser für ein lokales Maximum/Minimum in Frage kommt?

1d)
Wie lautet der MATLAB plot() Befehl, um bei der Darstellung der durch die Vektoren x und y gegebenen Funktion sowohl eine schwarze durchgezogene Linie als auch Kreise zur Markierung der Punkte zu erhalten?

2)
Gegeben ist der Tetraeder ABCD durch $ A(0/0/0)$, $ B(12/9/0)$, $C(6/12/0)$, $D(6/6/9)$. Bestimmen sie die Ebene E durch die drei Schwerpunkte der Dreiecke ABC, ABD, ACD. und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei soll F durch den Koordinatenursprung gehen und G soll durch den Schwerpunkt des Dreiecks BCD gehen.

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript mit einer Doppelschleife, das eine gegebene quadratische Matrix M elementweise (es werden immer Paare von Elementen verarbeitet) analysiert und dabei eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A aufbaut, so dass gilt A+S = M!

4)
Geben Sie die (vektorwertige) Gradient-Funktion zur folgenden Funktion von zwei Variablen an:
$\displaystyle{
F(x,y) = 1/ \sqrt{(x^5+y^4+x\cdot y)} }$

5)
Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L''-Figur mit den Ecken $ A =(5/2)$, $B=(5/0)$, $C=(6/0)$ an der schiefstehenden Achse $y=x-2$ spiegelt. Geben Sie auch die transformierten (bzw. gespiegelten) Koordinaten des ``L'' an!

6)
Wählen Sie von den 2 Lösungen einer archimedischen Spirale durch die 2 Punkte $P(0/-1)$ und $Q(0/2)$ diejenige aus, welche sich im Uhrzeigersinn öffnet, und geben Sie ein Matlab-Skript an, das diese Figur zwischen den Radien-Werten 0 und 5 zeichnet.


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2012-03-21