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SS 2005 - Lösungen zur Prüfung 2, Y, 17.Aug.2005

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 2 17.August2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie vier MATLAB Standardfunktionen an, welche einen komplexen Eingabewert und einen reellen Ausgabewert haben.

L:
real(), imag(), abs(), angle()

1b)
Wieviele Nullen hat eine nxn Tridiagonalmatrix mindestens?

L:
$n^2 -n -2(n-1)~=~ n^2 -3\cdot n +2$ Matrix minus Diagonale minus zwei Nebendiagonalen.

1c)
Wie lautet der MATLAB-Befehl, um dem mit plot3 zu zeichnenden Bereich eine Würfel-Form vorzuschreiben?

L:
axis([-d d -d d -d d]);   axis square

1d)
Wie nennt man die beiden wichtigsten Gleichungs-Ansätze, welche für das Lösen von Fit-Problemen angewendet werden.

L:
Normalengleichungen und Fehlergleichungen

2)
Ein Windschutzzelt hat einen Grundriss in der Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Bodenpukte der Verspannung sind C=(0/0), A=(6/0), und B=(0/8). In der Mitte der Hypothenuse ist ein 2 Meter hoher vertikaler Stützpfosten zum Punkt S. Berechnen Sie den Winkel zwischen den zwei Dreiecksflächen CAS und CBS.

L:
C=[0 0 0]'; A=[6 0 0]'; B=[0 8 0]'; S=(A+B)/2+[0 0 2]';
na=cross(A-C,S-C); nb=cross(S-C,B-C); coswi = na'*nb/norm(na)/norm(nb);
wi = acos(coswi)*180/pi ,na ,nb  % wi = 41.9088 Grad
% na = [0 -12 24]' , nb = [-16 0 24]'

3)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das dieselbe Wirkung hat, wie die Multiplikation von links mit der unten angegebenen Matrix. Das Skript soll also eine beliebige 4x4 Matrix $A$ in eine entsprechende Matrix $\widetilde{A}$ umforman.

\begin{displaymath}
\widetilde{A} =
\left(
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \...
...
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\cdot A
\end{displaymath}

L:
A=[11 12 13 14; 21 22 23 24; 31 32 33 34; 41 42 43 44];
idar=[1 3 2 4]; Atr = A; 
for k=1:4;
  Atr(k,:)=A(idar(k),:); 
end; Atr

4)
Ein (rechtwinkliger) Quader hat die Seitenlängen 8, 6 und 3 in x,y und z-Richtung. Die Ecken werden in der unteren Ebene im Gegenuhrzeigersinn mit ABCD bezeichet und korrespondierend in der oberen mit EFGH. A sei im Nullpunkt. Bestimmen Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene durch die drei Punkte F,C,H, sowie der Ebenen die dazu parallel sind und durch A und durch G gehen.

L:
A=[0 0 0]'; B=[8 0 0]'; C=[8  6 0]'; D=[0  6 0]';
E=[0 0 3]'; F=[8 0 3]'; G=[8  6 3]'; H=[0  6 3]';
na=cross(H-C,F-C); ne=na/norm(na)
ne'*F, ne'*C, ne'*H, ne'*G
%  ne = [0.3180 0.4240 0.8480]'
%  Ebenen: ne'*OP - 5.0880 = 0 ; ne'*OP = 0 ;  ne'*OP - 7.6320 = 0 ;

5)
Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen, die Gesamt-Transformations-Matrix und die abgebildete Figur in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L'' -Figur (4/2) (4/0) (5/0) an der Geraden $y=0.25\cdot x$ spiegeln.

L:
Lur = [4 4 5; 2 0 0; 1 1 1]; w = atan(0.25);
Mr1 = [cos(-w) -sin(-w) 0; sin(-w) cos(-w) 0; 0 0 1]
Mirr = [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
Mr2 = [cos(w) -sin(w) 0; sin(w) cos(w) 0; 0 0 1]
Mt = Mr2*Mirr*Mr1 , Lb = Mt*Lur
plot(Lur(1,:),Lur(2,:)); hold on; plot(Lb(1,:),Lb(2,:),'r')
axis([-1 9 -1 9]); axis square;  plot([0 10],[0 2.5]); hold off

6)
Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F $ an für die Funktion
$F(x,y,z,u) = \sqrt{y\cdot z} \cdot (z^2\cdot x^3/u + u/y^3 + x^2/y )$.

L:

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\Delta F&=&\sqrt {yz} \left( 3\,{\frac {{...
...x}^{3}}{{u}^{2}}}+{y}^{-3} \right)
\cdot \Delta u
\end{array}\end{displaymath}


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2012-03-21