Inhaltsverzeichnis

1  Grundkenntnisse von MATLAB

1.1

Bekanntschaft schliessen mit MATLAB

1.1.1 Die Arbeitsoberfläche von MATLAB

1.1.2 Zum Einstieg: Berechnungen mit einfachen Zahlen

1.1.3 Weitere einfache Berechnungsbeispiele

1.1.4 Basiswissen zu MATLAB

1.1.5 Hintergrundinformation und Hilfefunktionen

1.1.6 Datenaustausch mit Files

1.2

Mathematische Grundlagen der Matrizenrechnung

1.2.1 Definitionen zur Matrizenrechnung

1.2.2 Indizieren der Matrixelemente

1.2.3 Das Transponieren einer Matrix

1.2.4 Addition und Subtraktion von Matrizen

1.2.5 Das Produkt von zwei Matrizen

1.2.6 Die Einheitsmatrix

1.2.7 Kann man auch durch Matrizen dividieren?

1.3

Matrizenrechnung in der Praxis mit MATLAB

1.3.1 Das Arbeiten mit M-Files und Funktions-M-Files

1.3.2 Einstieg in die Matrizenrechnung mit MATLAB

1.3.3 Einfache Beispiele von linearen Gleichungssystemen

1.3.4 Matrizen zur Darstellung von Daten

1.4

Einfache grafische Darstellungen mit MATLAB

1.4.1 Funktionsdarstellungen

1.4.2 Polygone, Kreise, Sterne

1.4.3 Flächen malen

1.5

Übersicht über die wichtigsten Grundbefehle in MATLAB

1.5.1 In MATLAB definierte Operatoren und Grundbefehle

1.5.2 Das Definieren von Zahlen, Matrizen und Vektoren

1.5.3 Schleifen und Bedingungen

1.5.4 Mathematische Funktionen

1.5.5 Einige Hinweise zu Linienplots

-

MATLAB Grundlagen aktivieren

Checkliste zu Kapitel 1

Übungen zum Kapitel 1

Miniprojekte zum MATLAB Einstieg

Selbsttests zum Kapitel 1

2  Auffrischen der Elementarmathematik

2 . 1

Basiswissen zum Funktionsbegriff

2.1.1 Funktionen als spezielle Relationen

2 .2

Linienplots in MATLAB

2.2.1 Grundfunktionen kennenlernen mit MATLAB

2.2.2 Kurven in Parameterdarstellung - Lissajous-Figuren

2.2.3 Zykloiden

2.2.4 Spiralen

2.2.5 Mathematische Klassiker

2.2.6 Die ``Versiera di Agnesi''

2.2.7 Ausflug ins Dreidimensionale

2.3

Folgen und Reihen

2.3.1 Arithmetische Folgen und Reihen

2.3.2 Geometrische Folgen und Reihen

2.3.3 Die Anwendung bei Zinsberechnungen

2.3.4 Beherrschbare Unendlichkeit

2.3.5 Fibonacci-Folgen

2. 4

Keine Angst vor komplexen Zahlen!

2.4.1 Die Rechenregeln für komplexe Zahlen

2.4.2 Die n-ten Einheitswurzeln

2.4.3 Die n-ten Wurzeln aus beliebigen Zahlen

2.4.4 Komplexe Zahlen näher kennenlernen

2.4.5 Beschreibung von stationären Schwingungen

-

Elementarmathematik aktivieren

Checkliste zu Kapitel 2

Übungen zum Kapitel 2

Miniprojekte zur Elementarmathematik

Selbsttests zum Kapitel 2

3  Basiswissen zur Linearen Algebra

3.1

Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösbarkeit

3.1.1 Gleichungssystem und zugehörige Matrizengleichung

3.1.2 Die verschiedenen Fälle der Lösbarkeit

3.1.3 Die Bedingungen zur eindeutigen Lösbarkeit - Regularität

3.1.4 Die wichtigsten Fachausdrücke der Lösbarkeitsdiskussion

3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren

3.1.6 Der Rang einer Matrix

3.1.7 Die Determinante einer Matrix

3.2

Anwendungen von linearen Gleichungssystemen

3.2.1 Gleichungssysteme aus Tabellenkalkulationen

3.2.2 Kirchhoff'sche Netze

3.2.3 Statik von Tragwerken

3.2.4 Polynombestimmung

3.3

Spezielle Matrizen - Schleifenkonstruktionen

3.3.1 Definitionen

3.3.2 Beispiele zur Schleifenprogrammierung

3.3.3 Turmmatrizen

3.3.4 Dreiecks- und Tridiagonalmatrizen

3.3.5 Dünn besetzte Matrizen

3.4

Orthogonalität und Projektionen

3.4.1 Orthogonale Vektoren

3.4.2 Projektionen von Vektoren

3.4.3 Orthogonale Teilräume

3.4.4 Orthogonale Matrizen

3.4.5 Orthogonalisierungsverfahren

3.5

Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

3.5.1 Der Gauss-Algorithmus

3.5.2 Der Gauss-Algorithmus mit MATLAB

3.5.3 Das Vertauschen von Zeilen: Pivot-Suche

3.5.4 Die L-R-Zerlegung

3.5.5 Der Gauss-Jordan-Algorithmus

3.5.6 Singuläre Systeme

3.6

Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6.1 Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren

3.6.2 Wiederholte Abbildungen durch Matrizen

3.6.3 Lösungsmethoden für Eigenwertprobleme

3.6.4 Stabilität von Systemen

3.7

Probleme mit der endlichen Rechengenauigkeit

3.7.1 Die Zahlendarstellung im Computer

3.7.2 Auslöschung, Stabilität und Wohldefiniertheit

3.7.3 Die Kondition einer Matrix

-

Lineare Algebra aktivieren

Checkliste zu Kapitel 3

Übungen zum Kapitel 3

Miniprojekte zur linearen Algebra

Selbsttests zum Kapitel 3

4  Ebenen- und Raumgeometrie

4.1

Vektoren in der Elementargeometrie

4.1.1 Addition und Subtraktion von Vektoren

4.1.2 Produkte zwischen Vektoren

4.2

Beispiele aus der Raumgeometrie

4.2.1 Geometrische Grundelemente

4.2.2 Geometrische Grundaufgaben

4.3

Längen und Winkel in höheren Dimensionen

4.4

Matrixformulierung geometrischer Abbildungen

4.5

Abbildungen in homogenen Koordinaten

4.5.1 Das Prinzip der homogenen Koordinaten

4.5.2 Homogene Koordinaten in der Ebene

4.5.3 Homogene Koordinaten im Raum

-

Vektorgeometrie aktivieren

Checkliste zu Kapitel 4

Übungen zum Kapitel 4

Miniprojekte zur Raumgeometrie und den Abbildungen

Selbsttests zum Kapitel 4

5  Faltung und Fourier-Transformation

5.1

Die einfache Faltung

5.1.1 Das Prinzip der einfachen Faltung

5.1.2 Die Faltung als Multiplikation von Polynomen

5.1.3 Die Formel zur Faltung von Zahlenfolgen

5.1.4 Beispiele von einfachen Faltungen

5.1.5 Die Faltung von kontinuierlichen Funktionen

5.2

Zirkuläre Faltung - Faltungssatz

5.2.1 Die Definition der zirkulären Faltung

5.2.2 Der Faltungssatz

5.2.3 Zwei- und mehrdimensionale Faltungen

5.3

Fourier-Reihen, Fourier-Transformation

5.3.1 Definition der Fourier-Reihen

5.3.2 Die Berechnung der Fourier-Koeffizienten

5.3.3 Von der Fourier-Analyse zur Fourier-Transformation

5.4

Diskrete Fourier-Transformation und FFT

5.4.1 Definition der diskreten Fourier-Transformation

5.4.2 Aliasing, Nyquist-Frequenz, ``sampling''

5.4.3 Das Prinzip der schnellen Fourier-Transformation

5.4.4 M-Files zur Demonstration des FFT-Prinzips

5.5

Die Fourier-Transformation näher kennenlernen

-

Faltungs- und Fourier-Theorie aktivieren

Checkliste zu Kapitel 5

Übungen zum Kapitel 5

Miniprojekte zur Faltung und zur Fouriertransformation

Selbsttest zum Kapitel 5

6  Funktionen von mehreren Variablen

6.1

Grundbegriffe der Funktionen von mehreren Variablen

6.1.1 Die Funktionsdefinition

6.1.2 Grafische Darstellung

6.1.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen

6.1.4 Illustration der partiellen Ableitung

6.2

Das Bilden von partiellen Ableitungen

6.2.1 Grundprinzip des partiellen Ableitens

6.2.2 Ableitungstabelle für Grundfunktionen

6.2.3 Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen

6.2.4 Beispiele von partiellen Ableitungen

6.3

Partielle Ableitungen und das totale Differential

6.3.1 Die Formel für das totale Differential

6.3.2 Anwendung zur Berechnung der Volumenausdehnung

6.3.3 Empfindlichkeit der Eigenfrequenz

6.3.4 Kommerzielle Einflussanalyse

6.3.5 Das Optimierungsprinzip in mehreren Variablen

6.4

Höhenlinien- und Flächenplots

6.4.1 Höhenlinien

6.4.2 Dreidimensionale Flächendarstellungen

6.4.3 Die Funktion Meshgrid

6.5

Ausgleichsrechnung

6.5.1 Geradenfit als Beispiel

6.5.2 Allgemeine lineare Ausgleichsprobleme

6.6

Algorithmen zur Ausgleichsrechnung

6.5.1 Normalengleichungen und Fehlergleichungen

6.5.2 Singular Value Decomposition

6.6

Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren

6.6.1 Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen

6.6.2 Beispiele für Lagrange-Multiplikatoren

6.7

Nichtlineare Gleichungssysteme

-

Kenntnisse von Funktionen mehrerer Variablen aktivieren

Checkliste zum Kapitel 6

Übungen zum Kapitel 6

Miniprojekt zu den Funktionen mit mehreren Variablen

Selbsttests zum Kapitel 6

7  Differentialgleichungen

7.1

Die Bedeutung von Differentialgleichungen in Physik und Technik

7.2

Die Grundtypen von Differentialgleichungen

7.2.1 Integrationsprobleme, Quadraturen

7.2.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen

7.2.3 Systeme von Differentialgleichungen

7.2.4 Systeme erster Ordnung ersetzen eine Gleichung höherer Ordnung

7.2.5 Partielle Differentialgleichungen

7.3

Numerische Lösungverfahren für Anfangswertprobleme

7.3.1 Das Grundprinzip der Lösung von Anfangswertproblemen

7.3.2 Explizite und implizite Verfahren

7.4

Quervergleich verschiedener Lösungverfahren

7.4.1 Analytische Lösung

7.4.2 Lösung durch Laplace-Transformation

7.4.3 Numerische Lösung der Differentialgleichung

7.5

Prominente Beispiele von Anfangswertproblemen

7.5.1 Radioaktive Zerfälle

7.5.2 Der schiefe Wurf, ein Körper im Gravitationsfeld

7.5.3 Der einfache harmonische Oszillator

7.5.4 Ein Oszillator mit Dämpfung und Anregung

7.5.5 Geladene Teilchen im Magnetfeld

7.5.6 E$\times$ B-Drift: Elektrische und magnetische Felder

7.5.7 Die Verhulst-Gleichung

7.6

Schnuppern am Chaos

7.6.1 Der Lorenz'sche Strange Attractor

-

Numerik der Differentialgleichungen aktivieren

Checkliste zu Kapitel 7

Übungen zum Kapitel 7

Miniprojekt zu den Differentialgleichungen

Selbsttest zum Kapitel 7

8  Das Paket ``Symbolic Algebra''

8.1

Der Anwendungsbereich für symbolische Algebra

8.1.1 Quervergleich zur Berechnungsumgebung

8.1.2 Manipulation von algebraischen Ausdrücken und lineare Algebra

8.1.3 Formale Lösung von Gleichungen, Differential- und Integralproblemen

8.1.4 Grenzwerte und Reihenentwicklungen

8.1.5 Mehrfach genaues Rechnen

8.2

Befehlsstrukturen beim symbolischen Rechnen

8.2.1 Symbolic-Befehle in MATLAB

8.2.2 Quervergleich zu Maple

8.2.3 Definition von symbolischen Funktionen und Variablen

8.2.4 Grafik mit Symbolic-Funktionen

8.3

Differenzieren

8.3.1 Das Prinzip des Differenzierens

8.3.2 Einfache Ableitungen

8.3.3 Funktionsdiskussionen

8.3.4 Partielle Ableitungen

8.4

Unbestimmte und bestimmte Integrale

8.4.1 Unbestimmte Integrale

8.4.2 Bestimmte Integrale

8.4.3 Bestimmte Integrale in der Technik

8.4.4 Uneigentliche Integrale

8.4.5 Fourier- und Laplace-Transformationen

8.5

Gleichungen und Gleichungssysteme

8.5.1 Die Formulierung von Gleichungssystemen

8.5.2 Polynomfaktorisierung

8.5.3 Partialbruchzerlegung

8.5.4 Analytisch lösbare Differentialgleichungen

8.6

Reihenentwicklungen

8.6.1 Potenzreihenentwicklungen

-

Kenntnisse des symbolischen Rechnens aktivieren

Checkliste zu Kapitel 8

Übungen zum Kapitel 8

Miniprojekt zum symbolischen Modus

Selbsttest zum Kapitel 8

A  MATLAB professionell einsetzen

A.1

Erweiterungen in grafischer Richtung

Audio-Video-Sequenzen und Webinare

Erstellen von grafischen Benutzeroberflächen mit GUIDE

Simulink

A.2

Die Ausdehnung der Einsatzmöglichkeiten

Erweiterungen im Basispaket

Zusatzpakete

Die weltweite Benutzergemeinschaft

B  Beispielsammlung von M-Files

B.1

M-Files zu den Funktionsplots

Spezielle Funktionen

Periodische Funktionen

B.2

M-Files zur Elementarmathematik

Kurven in Parameterdarstellung

Zykloiden

B.3

M-Files zur linearen Algebra

Spezielle Matrizen

Elementare Permutationsmatrix

Matrix-Algorithmen

Showtime Gauss-Elimination

Showtime L-R-Faktorisierung

Eigenwertprobleme

B.4

M-Files zur Vektorgeometrie

Demonstration der Funktionsweise der Hesse'schen Normalform

Abbildungen in homogenen Koordinaten

Serienabbildungen der ``L''-Figur

B.5

M-Files zu Faltung und Fourier-Transformation

Faltungsalgorithmen

Beispiele und Demos zur Fourier-Transformation

B.6

M-Files zu den Funktionen mit mehreren Variablen

Höhenlinien-Plots

Mehrdimensionales Newton-Verfahren

B.7

M-Files zu den Differentialgleichungen

B.8

M-Files zum Paket Symbolic Algebra

B.9

Universell anwendbare M-Files

Spezielle Funktionen

Matrizenoperationen

C  Lösungshinweise

Lösungshinweise zum Kapitel 1

Lösungshinweise zum Kapitel 2

Lösungshinweise zum Kapitel 3

Lösungshinweise zum Kapitel 4

Lösungshinweise zum Kapitel 5

Lösungshinweise zum Kapitel 6

Lösungshinweise zum Kapitel 7

Lösungshinweise zum Kapitel 8

Index