WS 04/05 - Lösung der Prüfung 2, 2.März2005

Ingenieurmathematik Prüfung 2 2.März2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., 40 P. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Mit welchem Befehl zeichnet man mit MATLAB die durch die Vektoren x und y definierte Punkteschar als violettrote diagonale Kreuze?

L:

plot(x,y,'mx')

1b)

Wie gross ist die Länge der Resultatfolge bei einer gewöhnlichen Faltung der beiden Folgen a und b , welche je die Länge n haben, und welche Länge hat eine zirkuläre Faltung von a mit b?

L:

2*n-1 ; n

1c)

Welches ist der maximal mögliche Rang einer breiten Rechtecksmatrix der Dimension n x m?

L:

Antwort: n, die kleinere der zwei Dimensionen

1d)

In einer DFT einer Folge der Länge 80 sind die (komplexen) Koeffizienten $c_k$ mit $k = 8,~50$ durch Übertragungsfehler verlorengegangen. Wie können diese aus den anderen, intakt gebliebenen Koeffizienten rekonstruiert werden?

L:

$c_8 = \mathrm{Re}(c_{72}) - j \cdot \mathrm{Im}(c_{72})$
$c_50 = \mathrm{Re}(c_{30}) - j \cdot \mathrm{Im}(c_{30})$

2)

Finden Sie durch Überlegen je die Inversen Matrizen zu den unten angegebenen und beschreiben Sie Ihre Lösungs-Idee.

$$\left( \begin{array}{rrrr} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 & 0 & 0... ...& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$

L:

Die erste Matrix ist eine Rotation um $45^{\mathrm{o}}$, deren Inverse also eine Rotation um $-45^{\mathrm{o}}$. Die zweite Matrix ist eine zyklische scroll-down Matrix, die dazu Inverse also eine scroll-up Matrix.

$$\left( \begin{array}{rrrr} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 & 0 ... ...& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

3)

Schreiben Sie ein Programm in Matlab-Code zum Erstellen einer nxn antisymmetrischen Matrix ('n' vorgegebener Parameter), welche in den von Null verschiedenen Elementen Werte enthält, deren Betrag dem Abstand von der Diagonalen entspricht, und deren Elemente im oberen Dreiecks-Teil positiv sind.

L:

 
A=zeros(n);
for zei = 1:n
    for spa = 1:n
        A(zei,spa) = spa - zei;
    end
end

4)

Geben Sie die Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten an, für die Transformationen R) und S), sowie die Koordinaten der transformierten Punkte. Es sind jeweils die Gesamt-Transformation und die zugehörigen Teiltransformationen anzugeben. Bei R) wird das Quadrat A$(-4/0)$, B$(0/4)$ C$(-4/8)$ D$(-8/4)$ um den Punkt B um den Winkel $-180^{\mathrm{o}}$ gedreht. Bei S) wird dasselbe Quadrat an der y-Achse gespiegelt. Zeigen Sie, dass die beiden Bildquadrate übereinander liegen indem Sie die zusammenpassenden Paare von Bildpunkten suchen.

L:

 
Spiegelung S):
$\left( \begin{array}{rrrr} 4 & 0& 4 &8 \\ 0 & 4& 8 &4 \\ 1 & 1& 1 &1 \end{... ...y}{rrrr} -4 & 0& -4 & -8 \\ 0 & 4& 8 &4 \\ 1 & 1& 1 &1 \end{array}\right)$
Vertikaltranslation B zu O, dann Drehung, dann Ruecktranslation:
$\left( \begin{array}{rrr} -1 & 0& 0 \\ 0 & -1& 8 \\ 0 & 0& 1 \end{array}\ri... ...ft( \begin{array}{rrr} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1& -4 \\ 0 & 0& 1 \end{array}\right)$
Gesamt-Transformation R):
$\left( \begin{array}{rrrr} 4 & 0& 4 &8 \\ 8 & 4& 0 &4 \\ 1 & 1& 1 &1 \end{a... ...y}{rrrr} -4 & 0& -4 & -8 \\ 0 & 4& 8 &4 \\ 1 & 1& 1 &1 \end{array}\right)$
Vergleich S)-R): Ats = Ctr, Bts = Btr, Cts = Atr, Dts = Dtr

5)

Berechnen Sie ``von Hand'', unter Angabe der zu summierenden Tabelle sowohl die zirkuläre Faltung als auch die gewöhnliche Faltung der Folge [1 1 2 1 1] mit sich selbst.

L:

       $\begin{array}[t]{rrrrrrrrr} 1 & 1 & 2 & 1 & 1\\ & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ & &... ...2 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1\\ \hline 7 & 7 & 7 & 7 & 8 \end{array}$

6)

Bestimmen Sie $\vec{grad}(F(x,y))$ für die Funktion $F(x,y) =(x^2 -2x y + y^ 2)^2$ .

L:

 

$$\vec{grad}(F(x,y)) = \left( \begin{array}{r} 2\cdot (x^2 -2... ...\ 2\cdot (x^2 -2x y + y^ 2) \cdot (-2y+2x) \end{array}\right)$$