WS 04/05 - Lösungen zu Prüfung 1, 1.Dez.2004

Lösungen zur Ingenieurmathematik Prüfung 1 1.Dez.2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., 40 P. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welcher Fall der Lösbarkeit liegt bei einem linearen Gleichungssystem der Dimension 'n' vor, wenn gilt: Rang(A) $<$ n und Rang([A b]) = Rang(A)?

L 1a)

Rang(A) $<$ n bedeutet singulär. und Rang([A b]) = Rang(A) bewirkt dass 'b' im Zeilenraum (range) ist, also lösbar, aber mit unendlich vielen Lösungen.

1b)

Welche Dimensionen müssen die Matrizen B und D haben, damit das Produkt A*B*C*D*E definiert ist? Welche Dimensionen hat das Resultat? (A = (4x4), C = (5x3)), E = (6x1)) .

L 1b)

(A = (4x4), **B= (4x5)**, C = (5x3), **D =(3x6)**, E = (6x1)) . Welche Dimensionen hat das Resultat? **R= (4x1)**

1c)

Wie lautet der Fachbegriff für eine Matrix, für welche gilt: $A^T = -A$ ?

L 1c)

Antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch.

1d)

Geben Sie die Eliminationsmatrix an, welche beim Gauss-Algorithmus bei der Matrix
$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$ an der Position 2,1 eine Null erzeugt und Bestimmen Sie auch die Inverse dieser Eliminationsmatrix.

L 1d)

$\mathbf{L_{21}} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ -0.5 & 1 & 0 \\ 0 &... ... \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

2)

Geben Sie alle (komplexen) Lösungen an für die Gleichung $z^6+j = 0$

L 2)

$${ \mathrm{e} ^{j\cdot (\pi/4 + k\cdot \pi/3)} }$$

3)

Schreiben Sie ein Programm in Matlab-Code zum Erstellen einer unteren Band-Dreicks-Matrix der Dimension nxn, mit der (halben) Bandbreite k (d.h. k von Null verschiedene Linien ausserhalb der Diagonalen), welche in den von Null verschiedenen Elementen die Werte ``Spaltenindex plus Zeilenindex'' aufweist. ( Die Zahlen 'n' und 'k' sind vorgegebene Parameter, wobei natürlich k $<$ n sein muss.)

L 3)

n=12 ; k=9;
M=zeros(n)
for lin =1:k+1
  for zei = lin:n
     spa = zei-lin+1;
     M(zei,spa) = zei+spa;
  end
end
M

4)

Bestimmen Sie alle Elemente der unbekannten Matrizen $\mathbf{Pl}$ und $\mathbf{Pr}$, so dass die untenstehende Gleichung für beliebige $a_{jk}$ gilt:

$$\left( \begin{array}{rrrrr} a_{25} & a_{24} & a_{23} & a_{21... ...{53} & a_{54} & a_{55} \end{array} \right) \cdot \mathbf{Pr}$$

L 4)

$$\mathbf{Pl} = \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 ... ... 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

5)

Ein Dach über einem Ausstellungspavillon hat im Grundriss die Form eines gleichseitigen Dreiecks, das in einem Kreis vom Radius 2 m einbeschrieben ist. Die Ecken haben die Höhen 2 m (Nord), 3 m (ca. Südwest) und 4 m (ca. Südost). Berechnen Sie den Neigungswinkel dieses Daches, sowie die wahren Winkel dieses Dreiecks im Raum.

L 5)

a = [2*cos(pi/2) 2*sin(pi/2) 2]'       % 0 2 2
b = [2*cos(7*pi/6) 2*sin(7*pi/6) 3]'   % -1.732 -1  3
c = [2*cos(11*pi/6) 2*sin(11*pi/6) 4]' %  1.732 -1  4
la = sqrt((b-c)'*(b-c)) ; lb = sqrt((c-a)'*(c-a)) ; lc = sqrt((a-b)'*(a-b));
%
wa = acos((c-a)'*(b-a)/lb/lc)*180/pi  % 56.31 deg
wb = acos((a-b)'*(c-b)/la/lc)*180/pi  % 67.38 deg
wc = acos((b-c)'*(a-c)/la/lb)*180/pi  % 56.31 deg
n = cross(a-b,a-c)          % [ -3  5.19  10.39]'
en = n/sqrt(n'*n)
wd = acos([0 0 1]*en)*180/pi                % 30 deg

6)

Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zum Zeichnen (plot3) einer linksgängigen (rot) und einer rechtsgängigen (schwarz) Schraubenlinie mit je 10 Umgängen, mit der x-Achse als Achse der Schraubenlinien, je einem Radius von 1, einer Ganghöhe von 0.8 und dem gemeinsamen Startpunkt (0/0/1)!

L 6)

t = 0:pi/100:20*pi;
z = cos(t);
yl = sin(t);
yr = -sin(t);
x = t*0.8/2/pi;
plot3(x,yl,z,'r')
hold on
plot3(x,yr,z,'k')
hold off