WS 04/05 - Musterprüfung, 10.Nov.2004

Ingenieurmathematik Musterprüfung 10.Nov.2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., (theoretisch: 40 P. = N.6).

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welche Bedeutung hat der Begriff der linearen Abhängigkeit in der Diskussion der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen?

1b)

Welche Dimensionen müssen die Matrizen B und D haben, damit das Produkt A*B*C*D*E definiert ist? Welche Dimensionen hat das Resultat? (A = (3x5), C = (7x2)), E = (4x2)) .

1c)

Wie heisst der Fachbegriff für eine Matrix, welche durch das Transponieren in sich selbst übergeht?

1d)

Geben Sie zwei arithmetische Operationen an, bei denen sich unter Verwendung einer komplexen Zahl und ihrer konjugiert komplexen ein reelles Resultat ergibt.

2)

Stellen Sie die Gleichungen auf, um die (komplexen) Ströme in einem Widerstands-Netz zu berechnen, das in der Anordnung einer Wheatstone'schen Messbrücke gleicht. Die Versorgungsspannung ist 5 Volt, 10 kHz. Die Impedanzen sind: $Z_1 = R_a= 50 \Omega$, $Z_2 = L = 2mHy$, $Z_3 =R_b= 20 \Omega$, $Z_4 = C_a = 3 \mu F$ und im Galvanometerzweig $Z_5 = C_b = 1 \mu F$

3)

Geben Sie alle (komplexen) Lösungen an für die Gleichung $z^6+1 = 0$

4)

Schreiben Sie ein Programm in Matlab-Code zum Erstellen einer oberen Dreicks-Matrix der Dimension nxn, welche auf der Diagonalen lauter 1-en, direkt darüber lauter 2-er, dann 3-er aufweist, etc, bis zur rechten oberen Ecke, in welcher der Wert 'n' steht!

5)

Bestimmen Sie alle Elemente der unbekannten Matrix $\mathbf{M}$:

$$\left( \begin{array}{rrrrr} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24... ...51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}\\ \end{array} \right)$$

6)

Ein Feder-Element aus Stahldraht hat die Form einer 3-dimensionalen Lissajous Figur: Auf einer Zylinder-Oberfläche mit dem Radius 5 mm bewegt sich die Linie in z-Richtung sinusförmig auf- und ab, so dass bei einem Umlauf drei obere und drei untere Punkte entstehen, deren Ebenen 4 mm Distanz aufweisen.
Entwickeln Sie die Parameterdarstellung dieser Raumkurve in den 3 Koordinaten x(t), y(t) und z(t) !