SS 04 - Prüfung 1, R-G-B-Y, 30.Juni2004

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Juni2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Eine Kurve in Polarkoordinaten-Darstellung ist als Tabelle 'r, w' (Radius, Winkel in Radian) gegeben. Wie kann man daraus die Vektoren erhalten, um die Kurve mit plot(x,y) zu zeichnen?

1b)

Mit welcher Zahl muss man eine komplexe Zahl ``z'' multiplizieren, damit die grafische Darstellung des Resultates als Vektor senkrecht auf der Darstellung von ``z'' steht?

1c)

Welches ist der Rang einer 5x5 Scroll-up Matrix , welche die oben herausfallende Zeile unten nicht wieder einfügt?

1d)

Wie nennt man das spezielle Lösungsverfahren eines linearen Gleichungssystems der Form $R\cdot x = b$ wenn bekannt ist, dass es sich bei $R$ um eine Rechts-Dreiecksmatrix handelt?

2)

Bestimmen Sie die Ebene E durch die Punkte $A(3/0/0)$, $B(0/4/0)$ und $C(0/0/3.2)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichungen der zwei zu E parallelen Ebenen F und G an. Dabei F soll durch den Koordinatenursprung gehen und G soll doppelt so weit vom Ursprung entfernt sein wie E.

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit dem Wert 2 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon n Werte (bzw. bis zum Rand) nebeneinander verschieden von Null sind. Auf der Diagonalen soll jedoch der Wert 1 stehen.

4)

Welche Werte müssen die Parameter $a$, $b$ und $c$ annehmen, damit die nebenstehende Matrix orthogonal ist?

 

$${ \left( \begin{array}{rrrr} \sqrt{3}/2 & a & 0 & 0 \\ b & \sqrt{3}/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{array}\right)}$$

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die Pfeil-Figur mit den Ecken $L =(0/-8)$, $S=(4/-7)$, $R=(0/-6)$ um -90$^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Spitze S dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten L'S'R'.

6)

Suchen Sie die Darstellung der Schraubenlinie mit Achse entlang der y-Achse, welche durch die Punkte (0/0/8) und (8/1/0) geht, und geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.