SS 03 - Lösungen zur Prüfung 1, B, 2.Juli2003

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine obere Dreiecksmatrix der Dimension nxn auf?

1L:

$n^2/2 + n/2$

1b)

Wie nennt man eine quadratische Matrix für welche gilt $A^T = -A$?

L:

antisymmetrisch

1c)

Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben Rechtecksmatrix A und ihrer Transponierten A' in der Art von A'*A*A für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix A legal ist. (Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip und ist nicht legal!)

L:

A'*A*A', A*A'*A

1d)

Wie erreicht man in Matlab, dass nachfolgende zusätzliche plot()-Aufrufe in dasselbe Bild gezeichnet werden?

L:

hold on

2)

Geben Sie die Abfolge der einzelnen Rechenschritte an, welche für ein allgemeines 2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern. Die vorgegebenen Werte sind also $l_{21}$, $r_{11}$ $r_{12}$, $r_{22}$, sowie $b_1,~ b_2~$.

L:

Vorwärts-Einsetzen: $y_1 = b_1$ , $y_2 = b2 - l_{21}*y_1$
Rückwärts-Einsetzen: $x_2 = y_2 / r_{22}$ , $x_1 = (y_1 - r_{12}*x_2) / r_{11}$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn untere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem Zeilenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen, in der letzten Zeile und in der ersten Spalte Nullen stehen.

L:

M=zeros(n)
for zei=3:n-1
  for spa = 2:zei-1
    M(zei,spa) = zei;
  end
end

4)

Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(2/0/0) und B(0/2/0) C(0/0/h) so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 60$^{\mathrm{o}}$  beträgt. und suchen Sie den Wert für h. (Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.) Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene.

L:

ac = [-2 0 h]', bc = [0 -2 h]
N = [2*h 2*h 4]', Nxy = [0 0 1]
Nxy'*N = 4 = cos(60$^{\mathrm{o}}$)* norm(N) = 0.5 *2*sqrt(2*h*h+4)
h = 2.0412
N=[4.899 4.899 4]' ; en = [0.6142 0.6142 0.5];
Hesse'sche Normalform $e_n'*OP - 1.2247 = 0$, d= 1.2247

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Rhombus mit den Ecken A=(8/6), B=(6/3), C=(8/0) D=(10/3) um -90$^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.

L:

T1 = [1 0 -8; 0 1 -6; 0 0 1]; T2 = [0 1 0; -1 0 0; 0 0 1] T3 = [1 0 8; 0 1 6; 0 0 1];
TT = [0 11 2; -1 0 14; 0 0 1]
A'=(8/6), B'=(5/8), C'=(2/6), D'=(5/4)

6)

Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen Spirale durch die Punkte (0/2) und (0/4) und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.

L:

A) r(pi/2) = c*(pi/2 + w0) = 2     w0 = (2 - c*pi/2)/c
B) r(-3*pi/2) = c*(-3*pi/2 + w0) = 4     c*(-3*pi/2)+(2 - c*pi/2) = 4
c*(-4*pi/2)= 2    c = -1/pi     w0 = -5/2*pi