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Ingenieurmathematik Prüfung 1
2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Pt. = N.6.
- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine
antisymmetrische Matrix der Dimension
nxn auf?
- 1b)
- Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben
Rechtecksmatrix A und ihrer Transponierten A' in der Art von A'*A*A
für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix A
legal ist.
(Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip und ist nicht legal!)
- 1c)
- Der Operator ``.'' ist eigentlich überflüssig
Wie könnte man
ohne diesen Operator formulieren?
- 1d)
- Wie nennt man eine quadratische Matrix
für welche gilt ?
- 2)
- Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das
eine nxn obere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem
Spaltenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen,
in der ersten Zeile
und in der letzten (d.h. der n-ten) Spalte Nullen stehen.
- 3)
- Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(4/0/0) und B(0/4/0)
C(0/0/h)
so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 30
beträgt. und suchen Sie den Wert für h.
(Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.)
Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen
Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des
Koordinatenursprungs von dieser Ebene.
- 4)
- Geben Sie die Abfolge der einzelnen
Rechenschritte an, welche für ein allgemeines
2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt
die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern.
Die vorgegebenen Werte sind also ,
, , sowie .
- 5)
- Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen
und die Gesamt-Transformations-Matrix,
in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den
Rhombus mit den Ecken
A=(10/10), B=(8/5), C=(10/0) D=(12/5) um -90 (im
Uhrzeigersinnn) um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die
gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.
- 6)
- Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen
Spirale durch die Punkte (0/1) und (0/5)
und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese
in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.
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2012-03-21