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SS 03 - Prüfung 1, G, 2.Juli2003

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.
1a)
Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine antisymmetrische Matrix der Dimension nxn auf?

1b)
Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben Rechtecksmatrix A und ihrer Transponierten A' in der Art von A'*A*A für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix A legal ist. (Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip und ist nicht legal!)

1c)
Der Operator ``.$\backslash$'' ist eigentlich überflüssig Wie könnte man $a.\backslash b$ ohne diesen Operator formulieren?

1d)
Wie nennt man eine quadratische Matrix für welche gilt $A^T = A$?

2)
Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn obere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem Spaltenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen, in der ersten Zeile und in der letzten (d.h. der n-ten) Spalte Nullen stehen.

3)
Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(4/0/0) und B(0/4/0) C(0/0/h) so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 30$^{\mathrm{o}}$  beträgt. und suchen Sie den Wert für h. (Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.) Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene.

4)
Geben Sie die Abfolge der einzelnen Rechenschritte an, welche für ein allgemeines 2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern. Die vorgegebenen Werte sind also $l_{21}$, $r_{11}$ $r_{12}$, $r_{22}$, sowie $b_1,~ b_2~$.

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Rhombus mit den Ecken A=(10/10), B=(8/5), C=(10/0) D=(12/5) um -90$^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.

6)
Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen Spirale durch die Punkte (0/1) und (0/5) und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.
\includegraphics[width=4cm, clip]{aspig}


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2012-03-21