SS 2002 - Prüfung 2, B , 21. August 2002

B   Ingenieurmathematik Prüfung 2 21.August2002
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Warum funktioniert das Vektorprodukt zwischen zwei Vektoren nur im dreidimensionalen Raum?

1b)

Warum nennt man die Fast Fourier Transformation ``fast''?

1c)

Was bedeutet der Begriff Signatur einer Prozedur (bzw. Funktion)? Geben Sie zwei Beispiele!

1d)

Wie bildet man die konjugiert komplexe Zahl (algebraisch, nicht mit Matlab-Funktionen) zu einer in der kartesischen Form vorliegenden (a+ib) und wie zu einer in der Polarkoordinatenform vorliegenden ( $r\cdot mathrm{e}^{j \cdot \phi}$) Zahl?

2)

Geben Sie die Matrix und die rechten Seiten der Fehlergleichungen zum Ausgleich nach kleinsten Quadraten an, für die Aufgabe, eine Parabel $a x^2 + bx + c$ an den Punkten
$x = 0, \pm \pi/6, \pm \pi/3$ an die Funktion $y=1+\cos(x)$ anzupassen.

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das in eine nxn untere Dreiecksmatrix in der Diagonalen und in k weiteren zur Diagonalen parallelen Linien Werte abfüllt, die der Zeilennummer entsprechen! Die übrigen Werte sollen Null sein.

4)

Suchen Sie die speziellen Permutationsmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_1 & a_2& 0 \... ... c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr }$$

5)

Suchen Sie die drei Gesamt-Transformations-Matrizen, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den einen Flügel A(3/3) B(3/5) C(6/6) des vierflügligen Windrädchens mit Achse R(3/3) auf die drei anderen abbildet.

6)

Bestimmen Sie das Gleichungssystem in Matrizenform, welches die Lösung zum Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen:
$Z = 2 x^2 + 4 y^2 + 6 z^2$ soll maximal werden unter der Bedingung, dass
$x + y -z = 4$ ist., mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren liefert.