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Ingenieurmathematik Prüfung 1
24. Nov. 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Pt. = N.6.
- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Zerlegen Sie die Matrix
M = [-1 1 -1 ; 3 0 2; 2 -2 4]
in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil:
M = S + A
mit S' = S
und A' = -A
.
- 1b)
- Bestimmen Sie den Wert von von f in der Matrix E so, dass
Die Matrix R = E*A eine 3x3 Rechtsdreiecksmatrix wird. (letzter von
3 Schritten der Gauss-Elimination)
E = [1 0 0; 0 1 0; 0 f 1]; A = [-1 3 2; 0 2 2; 0 4 2];
- 1c)
- Bestimmen Sie die Inverse zur Matrix
P = [0.8 -0.6 ; 0.6 0.8]
unter Verwendung der Information, dass P
orthogonal ist.
- 1d)
- Wie gross ist die grösstmögliche Anzahl
Elemente, mit Werten verschieden von Null, in einer nxn Dreiecksmatrix?
- 2)
- Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen und , so dass
die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
- 3)
- Im Quader mit den Ecken ABCD EFGH
, , , ,
, , , ,
ist die Ebene durch die Punkte AFH in Hesse'scher Normalform zu bestimmen.
Anschilessend sollen die Abstände der Punkte E, B und C von dieser
Ebene berechnet werden.
- 4)
- Eine rechtsdrehende und eine linksdrehende Schraubenlinie, beide
mit vertikaler Achse
starten beide beim Punkt und enden beim Punkt (10/0/2).
Besimmen Sie die Achsenpositionen xcl und ycl, bzw. xcr, xcr und
die Radien rl und rr, sowie die
Ganghöhen ghl und ghr unter Verwendung der Information, dass
beide zwischen Anfangs- und Endpunkt je eine Vierteldrehung
durchlaufen.
Hinweis: Zeichnen Sie einen Grundriss dieser Schraubenlinien!
- 5)
- Das Quadrat mit den Ecken
, , ,
soll um seinen Mittelpunkt um 90 Grad gedreht werden.
Geben Sie alle drei Teil-Transformationsmatrizen
für diese Abbildungen
in homogenen Koordinaten an und berechnen Sie
die Gesamt-Transformationsmatrix zur Abbildung von A, B, C, D
in Ar, Br, Cr, Dr!
Berechnen Sie anschliessend auch die Gesamt-Transformation
für eine Drehung um den Mittelpunkt um 180 Grad!
- 6)
- Schreiben Sie die einzelnen Berechnungs-Schritte mitsamt den Teilresultaten
der Reihe nach auf,
mit welchen das Gleichungssystem Q*R*x = b mit der
orthogonalen Matrix
Q = [0.6 0.8 ; -0.8 0.6]
und
der Rechtsdreiecks-Matrix R = [1 2 ; 0 2]
für die rechten Seiten b = [5 ; 10]
gelöst wird.
Die Angabe der Teilschritte inklusive der verwendeten Teil-Gleichungen
ist obligatorisch, denn dies ist nicht nur eine Taschenrechner-Übung.
M-Files zur Prüfung 1
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2012-03-21