FS 11 - Prüfung 2, a 17. Mai 2011

Ingenieurmathematik Prüfung 2a 17. Mai 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Bestimmen Sie die Zahlen p und q, so dass das Matrizenprodukt P = A(4x5)*B(px3)*C(3xq)*D(6x2) legal ist und geben Sie auch die Dimensionen der Produkt-Matrix P an

1b)

Bestimmen Sie die konjugiert komplexen Zahlen zu z1 = 5 * exp(i*5) und z2 = -3 - 4i

1c)

Zerlegen Sie die Matrix M = [4 6; 2 0] in eine Summe M = A + S, so dass A antisymmetrisch ist und S symmetrisch.

1d)

Bestimmen Sie p im Vektor u = [3 ; 4 ; p] so dass u senkrecht zum Vektor v = [-2 ; 1 ; 2] steht.

2)

Geben Sie diejenigen Lösungen der komplexen Gleichung

$$z^{15} = \sqrt{2}/2 - i\cdot \sqrt{2}/2$$

an, welche einen positiven Realteil aufweisen.

3)

Bestimmen Sie in einem Würfel mit Grundfläche ABCD, Deckfläche EFGH, mit E über A und der Kantenlänge 5 die Längen der folgenden 2 Vektoren:
u = Verbindungsvektor von A zum Mittelpunkt DH
v = Verbindungsvektor von Mittelpunkt DH zum Punkt G
Bestimmen Sie auch den Winkel zwischen u und v

4)

Bestimmen Sie zum Satz der 3 Funktionen

$$\begin{array}{rcl} f_1 & = & \sin^2(x) \cdot \cos(y) \cdot z... ...in(y) \cdot z^2\\ f_3 & = & \sin^2(y) \cdot z^3\\ \end{array}$$

Die Jacobi-Matrix, d.h. die Zusammenstellung aller partiellen Ableitungen aller Funktionen

5)

Das rechtwinklige Dreieck $A(3/2)$, $B(7/-2)$, $C(3/-2)$ wird zuerst um den Koordinatenursprung $0/0$ um $+90$ Grad gedreht und ergibt das Dreick $A'B'C'$.
Anschliessend soll am neuen Ort das Dreieck um $-90$ Grad um den Mittelpunkt der Hypotenuse $A'B'$ gedreht werden.
Geben Sie die Abbildungsmatrix in homogenen Koordinaten für die erste Drehung, sowie einzeln die drei Teil-Transformationen für die 2.Drehung an und berechnen Sie die Gesamt-Transformationsmatrix als Produkt aller vier Teil-Transformationen.

6)

Erzeugen Sie ein MATLAB-Skript, welches die Fehlergleichungen zum Geradenfit an die Punkte
x = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = 2 3 3 4 3 5 4 5 6
bestimmt und diese anschliessend löst.
Danach sollen aus den Fehlergleichungen die Normalengleichungen bestimmt werden, deren Lösung durch MATLAB-Befehle ebenfalls programmiert werden muss.