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FS 11 - Prüfung 1, a 5. April 2011

Ingenieurmathematik Prüfung 1a 5. April 2011
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie den MATLAB-Befehl an, zum Erzeugen einer Zahlenfolge mit allen durch 3 teilbaren Zahlen die kleiner als 100 (und grösser als 0) sind.

1b)
Bestimmen Sie den Wert von $\displaystyle{z = (-i)^{127}}$

1c)
Bestimmen Sie die Inverse zur Transformationsmatrix T = [0 -1 0 ; 1 0 0; 0 0 1] unter Verwendung der Information, dass T orthogonal ist.

1d)
Bestimmen Sie p im zum Vektor u = [3 ; p] so dass u senkrrecht zum Vektor v = [4 ; 2] steht.

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & b_4 & b_1 & b_5 & b_3...
...1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
$

3)
Bestimmen Sie im Oktaeder mit den 6 Ecken N = (0/6/0) , E = (3/0/0) , S = (0/-3/0) , W = (-3/0/0) und T = (0/0/3) , B = (0/0/-3) die 2 Verbindungvektoren u von N zum Kantenmittelpunkt SB und v von N zum Schwerpunkt des Dreiecks SWT.
Berechnen Sie dann die Längen dieser Vektoren und den Winkel zwischen u und v.

4)
Bestimmen Sie zur erst teilweise auf R-Form transformierten Matrix
$\displaystyle{
A=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 4 & -2 \\
0 & 6 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
\end{array}\right)
}$ die Eliminations-Schritt-Matrix $\displaystyle{
E_{32}=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & f & 1 \\
\end{array}\right)
}$ (dh. bestimmen Sie $f$), so, dass $R = E_{32} * A $ Rechts-Dreiecksform hat. Bestimmen Sie auch die Matrix R.

5)
Das dreieckige Pfeilsymbol auf der GPS-Anzeige hat zu Beginn die Eckpunkt-Koordinaten $A=(-4.5/0)$, $B=(-3.5/0)$, $C=(-4/4)$. Zuerst wird das Symbol um -90  Grad um den Koordinatenursprung gedreht, die transformierten Punkte werden At, Bt, Ct genannt. Dann wird es an dieser neuen Position um den Mittelpunkt der Strecke At Bt und +45 Grad gedreht, was die Punkte Ar, Br, Cr ergibt. Geben Sie alle Teil-Transformationsmatrizen für diese Abbildungen in homogenen Koordinaten an und berechnen Sie die Gesamt-Transformationsmatrix zur Abbildung von A,B,C in Ar,Br,Cr!

6)
Erzeugen Sie ein Matlab-Skript, welches alle 17 Lösungen der Gleichung
$\displaystyle{z^{17}} -i ~=~ 0 $
in einem komplexen Vektor zvec ausgibt.


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2012-03-21