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Y
Ingenieurmathematik Prüfung 2
9.Dez.2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe,
40 Pt. = N.6.
- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Geben Sie die definierenden Grössen
en
und dkrit
an für die Hesse'sche Normalform der zur y-z-Ebene
parallelen Ebene x = 4
.
- 1b)
- Geben Sie den vereinfachten Wert in arithmetischer Form
an für die Zahl
- 1c)
- Bestimmen Sie die Inverse der
untenstehenden Matrix
unter Verwendung der Angabe, dass die gegebene Matrix orthogonal ist.
- 1d)
- Bestimmen Sie den Paramter q, so dass
die beiden Vektoren
u = [q ; q ; -2]
,
und v = [-1 ; 2 ; 4]
zueinander orthogonal sind.
- 2)
- Unter welchen Winkel treffen die benachbarten Kanten
eines pyramidenförmigen Turmdaches
bei der Spitze aufeinander, wenn der quadratische
Grundriss der unteren Dachkante
eine Seitenlänge von 10m hat und
die Spitze 7m über der Mitte des Dachkanten-Quadrates liegt?
Hinweis:
Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem, in welchem Sie dann
die 3D Koordinaten der Kantenvektoren bestimmen können, bevor
Sie deren Zwischenwinkel berechnen.
- 3)
- Eine rechtsgängige Schraubenlinie mit der Achse parallel zur
z-Achse startet im Punkt
und endet im Punkt .
Sie hat 2 Umgänge und geht auch durch die Punkte
und .
Bestimmen Sie aus der Grundriss-Zeichnung die
Achsenposition, den Radius und den Startwinkel.
Vervollstaendigen Sie anschliessend die Parameterdarstellung.
Die Kurve geht auch durch die z-Achse.
Berechnen Sie die 2
Punkte, an denen die Schraubenlinie die
z-Achse schneidet.
- 4)
- Im Quader ABCD-EFGH
, , , ,
, ,
,
,
wird zuerst eine Ebene durch die Punkte B, D, G gelegt,
deren Hesse'sche Normalform zu bestimmen ist.
Zeigen Sie durch Berechnen der Abstände, dass
die Ebene durch die Punkte A,F,H parallel zur ersten ist, und
geben Sie auch noch die Hesse'sche Normalform dieser
Parallel-Ebene an.
- 5)
- Das Rechteck ABCD
, ,
soll mit homogener Koordinatentransformation
zuerst an der Geraden gespiegelt werden und anschliessend noch
an der Geraden
Geben Sie alle Teil-Transformations-Matrizen fuer diese Abbildungen
in homogenen Koordinaten der Ebene an, sowie die
Gesamt-Transformationsmatrix nach den beiden Spiegelungen.
Es werden ausdrücklich nur die Koordinaten des
Rechtecks am Schluss der beiden Abbildungen verlangt, die
Rechteckskoordinaten der Teil-Abbildungen müssen nicht
berechnet werden.
- 6)
- Geben Sie alle Lösungen der komplexen Gleichung
in der Euler'schen Form an!
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