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FS 10 - Lösungen zur Prüfung 2, B, 25. Mai 2010

B   Ingenieurmathematik Prüfung 2 25.Mai2010
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wieviele Nullen besitzt eine Rechts-Dreiecksmatrix der Dimension nxn mindestens?

L1a)
$ n^2/2 - n/2 = n*(n-1)/2$

1b)
Geben Sie je die 4. Potenzen (also $z_k^4$) an für die beiden Zahlen: $z_1 = -i$,  
$z_2 = \sqrt{3} * \exp(i*\pi)$

L1b)
$ (1*exp(i*3*pi/2) )^4 = 1* exp(i*12*pi/2) = 1$
$ (\sqrt{3}*exp(i*pi) )^4 = 9* exp(i*4*pi) = 9$

1c)
Wie erreicht man in MATLAB, dass der nachfolgende plot-Aufruf in dasselbe Bild gezeichnet wird?

L1c)
hold on

1d)
Geben Sie die Inverse $A^{-1}$ zur nebenstehenden Matrix $A$ an. Verwenden Sie dazu die Information , dass A orthogonal ist.
     $\displaystyle{
\left( \begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
\end{array} \right) }$

2)
Zur komplexen Zahl $z = \sqrt{2} \cdot \exp( i \cdot \pi/3)$ wird die Reihe der aufsteigenden Potenzen $z^k$ gebildet, also $z^1$, $z^2$, $z^3$ etc.
Welche möglichst tiefe Potenz, also welches möglichst kleine $k$ ergibt
a) eine negative reelle Zahl ,     b) eine positive relle Zahl?
Geben Sie die zu a) und b) gehörenden Zahlen an!

L2)
Die Winkel sind pi/3 2*pi/3 etc, k*pi/3
für negativ reel muss w = pi sein, also k1 = 3, $z^3 = 2 \sqrt{2} exp(i*pi)$
für positiv reel muss w = 2*pi sein, also k1 = 6, $z^6 = 8 exp(i*2*pi) = 8$

3)
Vom Punkt (0/0/0) aus führt eine Vierteldrehung einer rechtsgängigen Schraubenlinie mit vertikaler Achse zum Punkt (8/8/2).
Bestimmen Sie die Parameter dieser Schraubenlinie und geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit dem diese Linie gezeichnet wird. Hinweis: Zeichnen Sie einen Grundriss dieser Figur zur einfacheren Bestimmung der Achsenposition und des Radius.

L3)
Rechtsgängig, aus der Zeichenebene heraus ansteigend = ccw, also Achse bei 0/8/z.
n=1/4;
w = (0:0.01:n)*2*pi;
h = 2/n;
r = 8;
w0 = -pi/2;
z = w*h/(2*pi);
x =  r*cos(w+w0);
y = 8+r*sin(w+w0);
plot3(x,y,z)
box on
axis equal
view (-24,28)

4)
Über den Punkten $A=(0/4)$ und $B=(3/0)$ muss man sich ein Quadrat ABCD vorstellen, mit AB als eine der Seiten.
Gesucht ist zuerst die Geradengleichung der Trägergeraden zur Seite AB in Hesse'scher Normalform.
Zusätzlich ist noch die Hesse'sche Normalform gesucht für die Trägergerade zur Seite CD (Die Punkte C, D müssen dazu nicht bestimmt werden.)
Hinweis: in der Ebene hat der zum Vektor v = [v1 v2]' senkrechte Vektor w die Komponenten w = [v2 -v1]'.

L4)
%  Vektor in (auf) Gerade AB ist B-A 
A = [0 4]' ; B = [3 0]';
AB = B - A  % = [3 -4]'
%  N aus AB durch Vertauschen und 1 Komponente Vozeichen aendern
N = [4 3]'
%  nicht Verlangt N = AE  N = BC
C = B+N ; D = A+N  ; %  C= [4 7]' ;  D = [7 3]';
en = N/norm(N) % = [4 3]'/5 = [0.8 0.6]'
dkrit = en'*A % = 2.4
dBtst = en'*B - dkrit 
% Gerade durch C,D
enp = en
%  dkrit um 5 groesser
dkritp = 7.4
dCtst = enp'*C - dkritp 
dDtst = enp'*D - dkritp

5)
Geben Sie alle Teil-Transformationsmatrizen, sowie die Gesamt-Transformationsmatrix in homogenen Koordinaten an für die Drehung des Rechtecks ABCD ($A=2/0$, $B=7/0$, $C=7/{-3}$, $D=2/{-3}$) um die Ecke A um $+90$ Grad! (ccw)
Bestimmen Sie auch die Koordinaten aller transformierten Ecken!

L5)
Qori = [2 7 7 2 2; 0 0 -3 -3 0; 1 1 1 1 1];
Tz = [1 0 -2; 0 1 0; 0 0 1] , Tbk = [1 0 2; 0 1 0; 0 0 1]
R = [0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1] 
Tt = Tbk * R * Tz
Qn = Tt * Qori
plot(Qori(1,:),Qori(2,:))
hold on
axis equal
plot(Qn(1,:),Qn(2,:),'r')
hold off

6)
Zur Funktion von 2 Variablen $F(x,y) = 3\cdot x^2 + 2\cdot y^2$ und der Nebenbedingung
$G(x,y) = x-3\cdot y -2 = 0$ soll die Lagrange-Optimierungsfunktion
$L(x,y,\lambda) = F(x,y) + \lambda \cdot ( x-3\cdot y -2) $ gebildet werden.
Das Gleichungssystem, bei welchem alle 3 partiellen Ableitungen von $L$ Null gesetzt werden ist aufzustellen und die Teile der zugehörigen Matrizengleichung des linearen Gleichungssystems (also A und b) sind ebenfalls zu bestimmen.

L6)
%   3 * x^2 + 2 *  y^2 +lam * ( x - 3* y - 2)
%  dpL/dpx   = 6*x         +  lam       = 0
%  dpL/dpy   =      4*y  - 3* lam      = 0
%  dpL/dplam =   x - 3* y           - 2 = 0
M = [4 0 1 ; 0 10 -2 ; 1 -2 0 ]
b = [0 0 5]'
xsol = M\b


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2012-03-21