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HS 09/10 - Lösung zur Prüfung 2, Y, 8. Dez. 2009

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 2 8.Dez.2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Auf welchen Matrizen-Typ wird die Methode des Vorwärts-Einsetzens angewandt?

L1a)
Auf die aus der L-R-Zerlegung stammende L-Matrix

1b)
Nennen Sie zwei MATLAB Bibliotheksprozeduren, die beide zur grafischen Darstellung von Funktionen von zwei Variablen dienen!

L1b)
contour, contour3, contourf, surf

1c)
Bestimmen Sie den Parameter a im Vektor v so dass die beiden Vektoren u und v zueinander orthogonal sind.
u = [1;2;3] v = [3;a;1]

L1c)
1*3+2*a+3*1 = 0, also ist a = -6

1d)
Bestimmen Sie die am einfachsten auszuwertende Formel, um die Werte der Matrix $\displaystyle{P = (A \cdot B)^{-1}}$ zu erhalten, wenn man weiss, dass sowohl $A$ als auch $B$ beide orthogonal sind.

L1d)
$\displaystyle{P = B^T \cdot A^T}$

2)
Bestimmen Sie alle Elemente des komplexen Vektors z so dass mit dem einfachen Befehl plot(z) vier vom Nullpunkt ausgehende Strahlen gezeichnet werden. Die Strahlen sollen gleiche Winkel-Abstände aufweisen und gleiche Länge haben. Der erste Strahl zeigt von $z_1=0$ nach $z_2 = 2-2i$. Der vierte Strahl zeigt von $z_{(n-1)}=0$ nach $z_n = 2+2i$.
Die komplexen Zahlen in diesem Vektor müssen einzeln angegeben werden, allerdings ist dabei auch die Euler'sche Form erlaubt.

L2)
 w1 = -pi/4; w4 = pi/4; dw = pi/6; r = 2*sqrt(2);
  z(1) = 0;  z(2) = 2*sqrt(2)*exp(-i*pi/4) ; 
  z(3) = 0;  z(4) = 2*sqrt(2)*exp(-i*pi/12) ;
  z(5) = 0;  z(6) = 2*sqrt(2)*exp(i*pi/12) ;
  z(7) = 0;  z(8) = 2*sqrt(2)*exp(i*pi/4) ;
  plot(z)  ; axis equal

3)
Das räumliche Dreieck ABC durch $A(0/0/3)$, $ B(3.2/0/0)$ , $C(0/4/0)$ wird durch die Abbildung mit der Matrix Myz = [-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] an der y-z-Ebene gespiegelt.
Berechnen Sie die Neigung der Ebene ABC gegenüber der Horizontalen (d.h. gegenüber der x-y-Ebene), sowie den Winkel zwischen der Ebene ABC und der zugehörigen gespiegelten Ebene.
Alle Resultate müssen als Zahlenwerte berechnet und angegeben werden, reine Formeln geben in diesem Fall keine Punkte!

L3)
% 3Y
A = [ 0 0 3]' ;  B = [3.2 0 0]' ;  C = [0 4 0]';
  Myz = [-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];
  ABCm =  Myz*[A B C]
%  Die gespiegelten Vektoren sind fuer A, C identisch, Bm = -B
%  2 Vektoren im Innern der Ebene ABC
  u = B-A; v = C-A;
%  Kreuzprodukt ergibt Normalenvektor
  N = cross(u,v);   %  N= [9.6  12.8  12]; Norm(N) = 20
%  Normalenvektor zur Horizontalen ist rein in z-Richtung
  upvec = [0 0 1]'
%  Neigung der Ebene ABC
  w = acosd(upvec'*N/norm(N)) % 50.2082 Grad   0.8763 rad
%  Winkel zwischen zueinander gespiegelten Ebenen ist das
%    Doppelte wie der Winkel zur spiegelnden Ebene
  mirvec = [  1 0 0]'  
  wwh = acosd(mirvec'*N/norm(N))  %  53.1301 Grad
  uu = -B-A;
  NN = cross(uu,v); 
  ww = acosd(NN'*N/(N'*N))   % 106.2602  Grad 1.8546 rad

4)
In einem Würfel ABCD EFGH mit den Ecken
$A({-2}/{-2}/0)$, $ B( 2/{-2}/0)$ , $C( 2/ 2/0)$, $D({-2}/ 2/0)$,
$E({-2}/{-2}/4)$, $ F( 2/{-2}/4)$ , $G( 2/ 2/4)$, $H({-2}/ 2/4)$ ist die Ebene durch BDHF in der Hesse'schen Normalform gesucht. Dieses Resultat soll anschliessend dazu benutzt werden, um in dieser Ebene den Durchstosspunkt der Geraden zu berechnen, welche den Punkt A mit dem Mittelpunkt der Kante CG verbindet. Die Resultate müssen in konkreten Zahlen angegeben werden!

L4)
 A = [-2 -2 0]';  B = [2 -2 0]';  C = [2 2 0]'; D = [-2 2 0]' ;
 E = [-2 -2 4]';  F = [2 -2 4]';  G = [2 2 4]'; H = [-2 2 4]' ;
%   2 Vektoren in Ebene, Kreuzprodukt, Normalenverktor, normieren:
 u = D - B; v = F - B; N = cross(u,v), en = N/norm(N)  % [0.707  0.707 0]'
 dkrit = en'*B, dchkH = en'*H-dkrit  % dkrit = 0,  dchkH = 0, OK
%  Definition der Geraden: A + lam*AM, M=(C+G)/2
 M = (C+G)/2       %  M= [2 2 2]'
 r = M-A           % r =  [4 4 2]'
% en'*(A+lam*r) - dkrit = 0 muss erfuellt sein, daraus lamdp
 lamdp = (dkrit-en'*A)/(en'*r)       % = 0.5
 Pd = A+lamdp*r    %    [ 0  0  1]

5)
Geben Sie die Normalengleichungen an, mit denen die beste Gerade durch die drei Punkte $(x_k/y_k) = ({-2}~/~p),~(0/1),~ (1~/~3)$ berechnet werden kann! Der Wert $p$ für $y_1$ ist ein allgemeiner Parameter, der in den Normalengleichungen auftreten muss. Es ist nur das Gleichungssystem anzugeben, dieses kann ja gar nicht leicht gelöst werden wegen dem darin enthaltenen Parameter.

L5)
$\displaystyle{N =
\left(
\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
-1 & 3\\
\end{arra...
...
~~~
b = \left(
\begin{array}{r}
3-2p \\
p+4 \\
\end{array}
\right)
}$

6)
Bestimmen Sie die Lagrange Funktion und das Gleichungssystem mit den partiellen Ableitungen für das Optimierungs-Problem
$\displaystyle{Z(x,y,z) = 3x^4+ 7y^6 + 2z^2 ~ \rightarrow \mathrm{min}}$
unter den Nebenbedingungen
$\displaystyle{ x + 4y - 2z = 8}$
Es ist nur das Gleichungssystem anzugeben, dieses muss jedoch nicht gelöst werden.

L6)
$\displaystyle{ L(x,y,z,\lambda) = 3x^4 + 7y^6 + 2z^2 +
\lambda \cdot( x +4 y - 2z - 8)
}$


$\displaystyle{
\begin{array}{rcrrrrrcr}
\partial L /\partial x &=& 12 x^3 & &...
...rtial L /\partial \lambda &=& x & +4 y & - 2z & & -8 & = & 0\\
\end{array}
}$


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