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HS 09/10 - Lösung zur Prüfung 1, Y, 17. Nov. 2009

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 17.Nov.2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wieviele Nullen hat eine nxn L-Matrix aus der L-R-Zerlegung mindestens?

1b)
Wie lautet die Gleichung, mit der das erste Element beim Vorwärts-Einsetzen in ener 5x5 Matrix bestimmt wird? (d.h. Ergänzen Sie $y_? = ??? $)

1c)
Bestimmen Sie die die Inverse der Matrix $\displaystyle{
A = \left(
\begin{array}{rrr}
0.5 & 0 & -\sqrt{3}/2 \\
0 & 1 & 0\\
\sqrt{3}/2 & 0 & 0.5 \\
\end{array}
\right)
}$ mit Hilfe der Angabe dass die Matrix A orthogonal ist.

1d)
Mit welchen MATLAB Befehlen erreicht man, dass die Grafik in einem quadratischen Feld gezeichnet wird und dabei die dargestellten x-Werte zwischen -1 und 1 und die y-Werte zwischen 0 und 2 variieren?

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & d_2...
..._2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}
\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

3)
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, mit denen ein Vektor v aus komplexen Zahlen erzeugt wird, welcher beim Aufruf plot(v); axis equal ein reguläres Zwölfeck zeichnet, das im Kreis um $(0/0)$ mit dem Radius 4 einbeschrieben ist.
Geben Sie auch die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen des zugehörigen Umkreises.

L3)
 k = 0:12; w = 2*pi/12*k
 z12 = 4*exp(i*w)
plot(z12)
hold on
axis equal
t = (0:0.005:1)*2*pi;
kr = 4*exp(i*t);
plot(kr,'k')
hold off

4)
Gegeben ist ein Keil mit der Grundfläche ABCD und der Oberkante EF durch $A(0/0/0)$, $ B(0/12/0)$ , $C(5/12/0)$, $ D(5/0/0)$ und $E(0/0/5)$, $F(5/0/5)$ .
Bestimmen Sie je die Ebenengleichung der Deckfläche und der Grundfläche in der Hesse'schen Normalform, sowie die Neigung der Deckfläche!

L5)
A  = [0 0 0]'; B = [0 12 0]'; C = [5 12 0]';
D = [5 0 0]' ; E = [0 0 5]' ; F = [5 0 5]';
Kl = [A B C D A E B E F C F D];
plot3(Kl(1,:),Kl(2,:),Kl(3,:),'m')
axis equal
eng = [ 0 0 1]', dkritg = 0
%   Tests ob A,B,C,D in Grundflaeche
dtA = eng'*A-dkritg, dtB = eng'*B-dkritg, 
dtC = eng'*C-dkritg, dtD = eng'*D-dkritg, 
%   2 Vektoren in Deckflaeche BCFE
u = C-E, v = B-E
N = cross(u,v)  % = [ 0 25 60]
nN = norm(N)  %  = 65
endf = N/nN  % = [0 0.3846  0.9231]
dkritdf = endf'*E  %  = 4.6154
%   Tests ob B,C,F auch in Grundflaeche
dtdB = endf'*B-dkritdf, dtdC = endf'*C-dkritdf, 
dtdF = endf'*F-dkritdf
%   Winkel direkt acos S-prod zwischen Einheitsvektoren
wneig = acos(endf'*eng)
wneigd = wneig*180/pi

5)
Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Quadrat ABCD mit den Ecken $ A =(0/0)$, $B=(-2/2)$, $C=(-4/0)$, $D=({-2}/{-2})$ um $+90^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinn) um seinen Mittelpunkt dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten ÃBCD.
Geben Sie auch ein MATLAB-Skript an, das diese Transformation in homogenen Koordinaten durchführt und das Urbild und Bild in eine gemeinsame Grafik einzeichnet.

L5)
Qo = [0 -2 -4 -2 0; 0 2 0 -2 0; 1 1 1 1 1];
%  Mittelpunkt quadrat ist A+B+C+D/4  =[ -2 0]'
Tz = [ 1  0  2; 0 1 0; 0 0 1]
R = [0 -1 0 ; 1 0 0; 0 0 1]
Tb = [ 1  0 -2; 0 1 0; 0 0 1]
Ttot = Tb*R*Tz
Qt = Ttot*Qo
plot(Qo(1,:),Qo(2,:),'g') 
hold on 
plot(Qt(1,:),Qt(2,:),'ro')
axis equal ;  hold off

6)
Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien-Stücke mit Achse auf der z-Achse, welche beide im Punkt $(0/5/0)$ starten, und im Punkt $(0/-5/2)$ enden und dazwischen je eine halbe Umdrechung ausführen. Eines der Schraubenlinien-Stücke soll linksdrehend, das andere rechtsdrehend sein.
Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zur simultanen Darstellung der beiden Kurvenstücke!

L6)
t = (0:0.05:1)*pi  % eine halbe Drehung
%  Vorschub ist 2 pro halbe Drehung, also ist g = 4
g = 4
z = t*g/(2*pi);  % gleiches z fuer beide
%  Winkel 0 ist bei 0 5, also R = 5
R = 5
%  Vorschub nach oben, also Gegenuhrzeiger in x-y Ebene ist rechtsdrehend
xr = -R*sin(t); yr = R*cos(t);
%  Uhrzeigersinn in x-y Ebene ist linksdrehend
xl =  R*sin(t); yl = R*cos(t);
plot3(xr,yr,z) ; hold on; plot3(xl,yl,z,'r')
axis equal


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2012-03-21