SS 2001 - Prüfung 1 mit Lösungen, 26.Juni2001

A/B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 26.Juni2001
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

A/B 1a)

Wieviele Zahlen sind notwendig zu einer vollständigen Definition einer nxm Matrix.

L:

Die $n*m$ in der Matrix enthaltenen Zahlen plus die 2 Dimensionszahlen n und m.

A/B 1b)

Wieviele Elemente enthält die Faltung einer Zahlenfolge der Länge 15 mit sich selbst? (B: Länge 22)

L:

Die Formel lautet n+m-1, also: $15+15-1 = 29$ bzw. $22+22-1 = 43$.

A 1c)

Wieviel freie Parameter enthält eine 3x3 Matrix für die Festlegung einer Transformation in der Ebene in homogenen Koordinaten und welches ist deren Bedeutung?

L:

Von den 9 Parametern sind 4 für die 2x2 Matrix und 2 für die Translation frei, also total 6, die restlichen 3, in der letzten Zeile sind fest.

B 1c)

Welche Parameter einer 4x4 Matrix für die Festlegung einer Transformation im Raum in homogenen Koordinaten sind a priori festgelegt und auf welche Werte?

L:

In der untersten Zeile sind $m_{41}$ bis $m_{43}$ auf 0 und $m_{44}$ auf 1 festgelegt.

A/B 1d)

Aus den Matrizen R(4x3) , M(4x4) und dem (3x1)-Vektor v, sowie deren Transponierten R', M', v' sollen 4 legale und 2 illegale Matrizenprodukt-Zweierkombinationen gefunden werden (z.B. R*M), wobei die Angabe legal oder illegal dazu zu schreiben ist. Produkte mit gleichen Buchstaben, wie M*M oder v'*v sollen nocht vorkommen.
(B: R(5x3), M(5x5), v(3x1) , - 3 legale, 3 illegale)

L:

A/B: Legal - M*R, M'*R, R'*M', R'*M, R*v, v'*R'

A 2)

Bestimmen Sie $a, b, c$ in der Matrix $J$ so dass gilt: $J^2 = -I$ ($I$ ist die Einheitsmatrix)!
$${ J = \left( \begin{array}{rr} a & b\\ c & 0 \end{array} \right)}$$

L:

a=0,( b=-1, c=1) oder (b=1, c=-1)

B 2)

Bestimmen Sie $a, b, c$ in der Matrix $J$ so dass gilt: $J^2 = -I$ ($I$ ist die Einheitsmatrix)!
$${ J = \left( \begin{array}{rr} 0 & a\\ b & c \end{array} \right)}$$

L:

c=0,( a=-1, b=1) oder (a=1, b=-1)
A/B: $${ J = \pm 1 \cdot \left( \begin{array}{rr} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array} \right)}$$

A/B 3)

Die nebenstehende Spirale hat in Polarkoordinaten die Formel
$r(w) = a \cdot (w-w_0)$. Finden Sie $a$ und $w_0$ und geben Sie die Matlab Befehle an zum Zeichnen dieser Spirale! (Beachten Sie dass die Spirale sich linksdrehend öffnet.)

L:

A: $w_0 = \pi$ und $a = -2/(2*\pi) = -1/\pi$ (Radien-Zunahme um 2 bei Winkel-Abnahme um 2*$\pi$)
B: $w_0 = \pi/2$ und $a = -4/(2*\pi) = -2/\pi$
A: t = pi: -pi/200:-6*pi
    xpt = -t/pi .* cos(t-pi)
    ypt = -t/pi .* sin(t-pi)
B: t = pi/2: -pi/200:-6*pi
    xpt = -2*t/pi .* cos(t-pi/2)
    ypt = -2*t/pi .* sin(t-pi/2)
A/B: plot(xpt,ypt)

A/B 4)

Von den Punkten auf der x-Achse A$(-5 / 0)$ und B$(5/0)$ gehen je drei Vektoren aus: AR, AS, AT, bzw. BR, BS, BT. Von den Punkten R,S, T kennt man je die x-Koordinaten: -3, 1, 4 und weiss, dass ihre y-Koordinaten positiv sind. Bestimmen Sie diese y-Koordinaten aus der Bedingung, dass AS auf BS senkrecht steht und ebenso AR auf BR und AT auf BT. Berechnen Sie anschliessend die Längen OR, OS, OT. (O = Koordinaten-Ursprung)
(B: A(-10/0), B(10/0) )

L:

Das Skalarprodukt AP*BP muss 0 sein für P=R,S,T, dies ergibt die Formel $(x_P - x_A)*(x_P-x_B) + y_p^2 = 0$, also $y_P = \sqrt{(x_P - x_A)*(x_B-x_P)}$ , das ist der altbekannten Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke.
Die Werte für y ergeben: 4, 4.899, 3 (B: 6, 9.798, 8)
Die Distanzen OP sind alle gleich (Thaleskreis) A: 5 , B: 10.

A/B 5)

Suchen Sie die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten, welche die Punkte der Ebene um den Drehpunkt (8/8) um 180$^{\mathrm{o}}$dreht und testen Sie das Resultat an den drei Punkten (8/10) (8/8) und (8/9) [besser (9/8)]!
(B: Drehpunkt (6/6), Punkte (6/8) (6/6) und (6/7) [besser (7/6)]).

L:

$${ \left( \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 16\\ 0 & -1 & 16\\ 0 & 0... ...egin{array}{rrr} 1 & 0 & -8\\ 0 & 1 & -8\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }$$
Transformierte Punkte: (8/6) (8/8) (8/7) [(7/8)]
B: analog mit 6 statt 8, 12 statt 16.

A/B 6)

Stellen Sie die Matrizengleichungen zum Lösen des folgenden Gleichungssystems auf: Eine Kleinfirma hatte 1999 total 5 Mio SFr. Brutto-Einnahmen. Die Brutto-Einnahmen aus Italien und Österreich zusammen entsprechen denjenigen von Deutschland. Die Netto- Einnahmen aus Deutschland betragen wegen den Betriebskosten einer Aussenstelle von 250'000 SFr. nur 1/4 der Brutto-Einnahmen aus der Schweiz. Die Speditionskosten nach Italien betragen 50'000 SFr., damit sind die Netto-Einnahmen aus Italien gleich wie diejenigen aus Deutschland.
(B: total 10 Mio, Betrieb D 500'000, Spedition I 100'000, = alles *2 )

L:

$${ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ ... ... * x = \left( \begin{array}{r} 5\\ 0 \\ 0.25 \\ 0.2 \end{array}\right) }$$