FS 09 - Prüfung 1, G, 28. April 2009

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 28.April2009
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Die komplexe Zahlenfolge zv = [-1 i 1] ergibt beim Zeichnen einen Pfeil nach oben. Mit welcher komplexen Zahl z müssen Sie zv multiplizieren, damit der Pfeil plot(z*zv) ``nach rechts'', in die +Re(z) Richtung zeigt?

1b)

Bestimmen Sie die Zahlen n und m so, dass die folgendende Matrixmultiplikation legal ist: A(5xn)*B(3x4)*C(mx2). Geben Sie auch die Dimension der Resultates an.

1c)

Geben Sie die Inverse der Matrix R = [0 1 ; -1 0] an und benützen Sie dazu die Tatsache, dass R orthogonal ist.
Geben Sie auch die Methode an, mit der Sie $R^{-1}$ bestimmt haben.

1d)

Welche Komponente des Vektors y wird beim Vorwärts-Einsetzen mit L*y=b zuerst bestimmt und wie lautet die besonders einfach aufzulösende erste Gleichung, aus welcher man sie berechnen kann?

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!

$${ \left( \begin{array}{rrrrr} d_4 & 0 & d_1 & 0 & d_5 \\ 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen $z_k$ der Gleichung

$$z^5 +32 = 0$$

4)

Die vierseitige Pyramide $A({-4}/{-4}/0)$ $B({4}/{-4}/0)$ $C(4/4/0)$ $D({-4}/{4}/0)$ $S(0/0/5)$ wird mit einer Ebene geschnitten, welche durch die Punkte $B$, $C$ und $H(0/0/3)$ geht. Berechnen Sie die Durchstosspunkte Pd und Pa der Kanten DS und AS und damit die Schnittfigur B-C-Pd-Pa. Beweisen Sie, dass die Schittfigur ein Trapez ist, indem Sie zeigen, dass Pd-Pa parallel zu BC ist.

5)

In der Matrix C sind die L- und die R-Matrix zusammengepackt: auf- und oberhalb der Diagonalen befinden sich die Elemente der R-Matrix und ``echt'' unterhalb der Diagonalen stehen die Elemente der L-Matrix.
Erstellen Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine C-Matrix als Eingangsparameter erhält und daraus die darin enthaltene L-Matrix rekonstruiert (Vergessen Sie die Einsen auf der Diagonalen nicht!)

6)

Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das rechtwinklige Dreieck ABC ($A(0/0)$, $B(4/0)$, $C(2/2)$) um $180^{\mathrm{o}}$  um den Mittelpunkt seiner Hypotenuse AB dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Dreiecks an.