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FS 08 - Lösungen zur Prüfung 2, G, 20. Mai 2008

G   Ingenieurmathematik Prüfung 2 20. Mai 2008
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wie nennt man eine Matrix für welche gilt:
$\displaystyle{ \mathrm{A^{T}} ~=~ \mathrm{-A}}$ ?

L1a)
antisymmetrisch

1b)
Wieviele Nullen darf eine nxn Eliminationsmatrix höchstens enthalten wenn am Ort an dem in der bearbeiteten Matrix eine Null erzeugt werden soll noch keine Null steht?

L1b)
n*n-n-1, alle Diagonalelemente Eins, Eliminationsfaktor verschieden von Null

1c)
Geben Sie eine 4x4 Turm-Matrix an, welche bei Multiplikation von links die erste und dritte Zeile der rechts stehenden Matrix vertauscht.

L1c)
    0 0 1 0
    0 1 0 1
    1 0 0 0
    0 0 0 1

1d)
Welche Wirkung hat die fest vorgeschriebene unterste Zeile mit den Werten $0,~0,~1$ in der Matrix der 2D homogenen Koordinatentransformation auf die zu transformierenden Vektoren?

L1d)
Damit wird erreicht, dass jeder transformierte Vektor wieder zuunterst eine Eins aufweist und daher weiter transformiert werden kann.



2)
Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit dem ein reguläres 17-Eck mit Umkreisradius 5 in grüner Farbe gezeichnet wird, das eine Ecke auf der positiven y-Achse hat. Zeichnen Sie in dasselbe Bild die beiden Koordinatenachsen in schwarzer Farbe ein.

L2)
w =  pi/2 + ( 0:2*pi/17:2*pi) 
x = 5*cos(w); y = 5*sin(w);
plot(x,y,'g'); axis equal; hold on
plot([-6 6],[0 0],'k'); 
plot([0 0], [-6 6],'k');  hold off



3)
Durch die komplexe Funktion $\displaystyle{z(t) = 0.5 \cdot \exp(j\cdot t) + t ,~~~t=0 \ldots 4 \pi}$ werden zwei Perioden einer gestreckten Zykloide definiert. Bestimmen Sie die komplexen Werte der (je zwei) Punkte mit den grössten und den kleinsten Werten der Imaginärteile!

L3)
Der rein reelle Zusatz ``+t'' ändert am Imaginärteil nichts. Die Funktion exp(j*t) (Einheitskreis) hat ihr Maximum j bei pi/2 (+2*pi) und ihr Minimum -j bei 3*pi/2 (+2*pi). Also sind die Maximalpunkte bei pi/2 + 0.5*j und 5*pi/2 + 0.5*j und die Minimalpunkte bei 3*pi/2 - 0.5*j und 7*pi/2 - 0.5*j.
t = 0:pi/40:4*pi
z = 0.5*exp(j*t)+ t; plot(z); hold on; axis equal
plot([  pi/2+0.5*j 5*pi/2+0.5*j ],'og')
plot([3*pi/2-0.5*j 7*pi/2-0.5*j ],'or')
hold off



4)
Als Grundlage dient der reguläre Oktaeder $A(4/0/0)$ $B(0/4/0)$ $C(-4/0/0)$ $D(0/-4/0)$ $K(0/0/-4)$ (Keller) $S(0/0/4)$ (Spitze). Geben Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform an für die Ebene durch die Punkte C, MBS, MDS, wobei MBS der Mittelpunkt der Streck BS ist und MDS derjenige der Strecke DS. Berechnen Sie zusätzlich die Neigung dieser Ebene gegenüber der Horizontalen und den Abstand des Punktes S von dieser Ebene!

L4)
C = [-4 0 0]'; B = [0 4 0]';  D = [0 -4 0]';  S = [0 0 4]';
MBS = (B+S)/2 , MDS = (D+S)/2  % MBS = [0 2 2];  MDS = [0 -2 2]; 
n = cross(MDS-C, MBS-C), en = n/norm(n)  % n = [-8 0 16]', en = [-0.4472 0 0.8944]'
dkrit = en'*C  % dkrit = 1.7889
%  en'* OP - en'* OV =  en'* OP - dkrit = [-0.4472 0 0.8944]*OP - 1.7889   = 0 
distS = en'*S - dkrit  %  distS = 1.7889  (= dkrit Symmetrie!)
eup = [0 0 1]', w = acos(eup'*en), wg = w*180/pi  % w = 0.4636 ; wg = 26.56 Grd



5)
Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche das Rechteck ABCD ($A(6/0)$,$B(12/0)$,$C(12/4)$, $D(6/4)$,) um $180^{\mathrm{o}}$  um den Mittelpunkt der Strecke AD dreht. Geben Sie auch die Ecken des transformierten Rechtecks an.

L5
Rur = [6 12 12 6 6; 0 0 4 4 0; 1 1 1 1 1];
Tz = [1 0 -6; 0 1 -2; 0 0 1]
M = [-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0 6; 0 1 2; 0 0 1]
TT = Tb*M*Tz  % = [1 0 12; 0 1 4; 0 0 1]
Rtr = TT*Rur  %  =[ 6  0  0  6 6; 4 4 0 0 4; 1 1 1 1 1]
plot(Rur(1,:),Rur( 2,:)); hold on; axis equal
plot(Rtr(1,:),Rtr( 2,:)); hold off



6)
Beschreiben Sie das MATLAB-Skript zur 3D masstäblichen Konturlinien-Darstellung der speziellen ``bicubic spline'' Interpolationsfunktion:
$\displaystyle{S(x,y) = (2\cdot x^3 - 3 \cdot x^2+1) \cdot
(-2\cdot y^3 + 3 \cdot y^2) }$, definiert im Bereich $0 \leq x \leq 1$ $0 \leq y \leq 1$

L6)
x = 0:0.02:1; y = x; [xg,yg] = meshgrid(x,y);
f =  (2*xg.^3 - 3*xg.^2 +1) .* (-2*yg.^3 + 3*yg.^2)  ;
contour3(xg,yg,f,30); axis equal


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2012-03-21