- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Wie nennt man eine Matrix für welche gilt:
?
- L1a)
- antisymmetrisch
- 1b)
- Wieviele Nullen darf eine nxn Eliminationsmatrix höchstens
enthalten wenn am Ort an dem in der bearbeiteten Matrix
eine Null erzeugt werden soll noch keine
Null steht?
- L1b)
- n*n-n-1, alle Diagonalelemente Eins, Eliminationsfaktor
verschieden von Null
- 1c)
- Geben Sie eine 4x4 Turm-Matrix an, welche bei Multiplikation
von links die erste und dritte Zeile der rechts stehenden Matrix vertauscht.
- L1c)
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 0 1
- 1d)
- Welche Wirkung hat die fest vorgeschriebene unterste Zeile mit den Werten
in der Matrix der 2D homogenen Koordinatentransformation
auf die zu transformierenden Vektoren?
- L1d)
- Damit wird erreicht, dass jeder transformierte Vektor
wieder zuunterst eine Eins aufweist und daher weiter transformiert werden kann.
- 2)
- Geben Sie ein MATLAB-Skript an, mit dem ein reguläres 17-Eck mit
Umkreisradius 5 in grüner Farbe
gezeichnet wird, das eine Ecke auf der positiven y-Achse hat.
Zeichnen Sie in dasselbe Bild die beiden Koordinatenachsen in schwarzer
Farbe ein.
- L2)
w = pi/2 + ( 0:2*pi/17:2*pi)
x = 5*cos(w); y = 5*sin(w);
plot(x,y,'g'); axis equal; hold on
plot([-6 6],[0 0],'k');
plot([0 0], [-6 6],'k'); hold off
- 3)
- Durch die komplexe Funktion
werden zwei Perioden einer gestreckten Zykloide definiert.
Bestimmen Sie die komplexen Werte der (je zwei) Punkte mit den
grössten und den kleinsten Werten der Imaginärteile!
- L3)
- Der rein reelle Zusatz ``+t'' ändert am Imaginärteil nichts.
Die Funktion exp(j*t) (Einheitskreis) hat ihr Maximum j bei pi/2 (+2*pi)
und ihr Minimum -j bei 3*pi/2 (+2*pi). Also sind die Maximalpunkte bei
pi/2 + 0.5*j und 5*pi/2 + 0.5*j und die Minimalpunkte bei
3*pi/2 - 0.5*j und 7*pi/2 - 0.5*j.
t = 0:pi/40:4*pi
z = 0.5*exp(j*t)+ t; plot(z); hold on; axis equal
plot([ pi/2+0.5*j 5*pi/2+0.5*j ],'og')
plot([3*pi/2-0.5*j 7*pi/2-0.5*j ],'or')
hold off
- 4)
- Als Grundlage dient der
reguläre Oktaeder
(Keller) (Spitze).
Geben Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen
Normalform an für die Ebene durch die Punkte C, MBS, MDS, wobei
MBS der Mittelpunkt der Streck BS ist und MDS derjenige der Strecke DS.
Berechnen Sie zusätzlich die Neigung dieser Ebene gegenüber der
Horizontalen und den Abstand des Punktes S von dieser Ebene!
- L4)
C = [-4 0 0]'; B = [0 4 0]'; D = [0 -4 0]'; S = [0 0 4]';
MBS = (B+S)/2 , MDS = (D+S)/2 % MBS = [0 2 2]; MDS = [0 -2 2];
n = cross(MDS-C, MBS-C), en = n/norm(n) % n = [-8 0 16]', en = [-0.4472 0 0.8944]'
dkrit = en'*C % dkrit = 1.7889
% en'* OP - en'* OV = en'* OP - dkrit = [-0.4472 0 0.8944]*OP - 1.7889 = 0
distS = en'*S - dkrit % distS = 1.7889 (= dkrit Symmetrie!)
eup = [0 0 1]', w = acos(eup'*en), wg = w*180/pi % w = 0.4636 ; wg = 26.56 Grd
- 5)
- Geben Sie die Teilmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix
an für die 2D homogene Koordinatentransformation, welche
das Rechteck ABCD (,,, ,)
um
um den Mittelpunkt der Strecke AD dreht.
Geben Sie auch die Ecken des
transformierten Rechtecks an.
- L5
Rur = [6 12 12 6 6; 0 0 4 4 0; 1 1 1 1 1];
Tz = [1 0 -6; 0 1 -2; 0 0 1]
M = [-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
Tb = [1 0 6; 0 1 2; 0 0 1]
TT = Tb*M*Tz % = [1 0 12; 0 1 4; 0 0 1]
Rtr = TT*Rur % =[ 6 0 0 6 6; 4 4 0 0 4; 1 1 1 1 1]
plot(Rur(1,:),Rur( 2,:)); hold on; axis equal
plot(Rtr(1,:),Rtr( 2,:)); hold off
- 6)
- Beschreiben Sie das MATLAB-Skript zur 3D masstäblichen
Konturlinien-Darstellung der
speziellen ``bicubic spline'' Interpolationsfunktion:
, definiert im Bereich
- L6)
x = 0:0.02:1; y = x; [xg,yg] = meshgrid(x,y);
f = (2*xg.^3 - 3*xg.^2 +1) .* (-2*yg.^3 + 3*yg.^2) ;
contour3(xg,yg,f,30); axis equal