- 1)
- Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze
Antworten erwartet.
- 1a)
- Wie nennt man die Funktion (den Algorithmus)
zur Zerlegung einer allgemeinen quadratischen
Matrix in ein Produkt von zwei speziellen
Matrizen, welche eng mit der
Gauss-Elimination verwandt ist?
- L 1a)
- die L-R-Faktorisierung (l-u-decomposition)
- 1b)
- Welchen Fehler kann man bei der Eingabe des Befehls, der ein
Skalarprodukt berechnen sollte, vermuten, wenn
sich als Resultat eine Matrix ergibt statt ein Skalar?
- L 1b)
- Der eingegebene Vektor war ein Zeilenvektor statt ein Spaltenvektor
- 1c)
- Wieviele Nullen muss eine antisymmetrische Matrix der
Dimension nxn mindestens enthalten?
- L 1c)
- n Nullen, auf der Diagonalen
- 1d)
- Wieviele der Lösungen einer n-ten Wurzel aus einer positiven rellen Zahl
sind rein reel, im Fall, dass n eine ungerade Zahl ist?
- L 1d)
- genau eine Wurzel ist reell, alle andern kommen in konjugiert
komplexen Paaren vor.
- 2)
- Suchen Sie die Permutationsmatrixen so, dass
die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Komponenten a .. f
im
angegebenen Vektor gilt!
- L 2)
-
- 3)
- Das ebene Rechteck
A=[6 4]'
, B=[14 4]'
,
C=[14 8]'
, D=[6 8]'
soll einer
Punktspiegelung um den Punkt P=[5 2]'
unterworfen werden.
Geben Sie die Matrizen der Teiltransformationen in homogenen Koordinaten der Ebene
an und die Gesamt-Transformationsmatrix, sowie die
Eck-Koordinaten des Bildes.
- L 3)
Reco = [ 6 14 14 6 6; 4 4 8 8 4; 1 1 1 1 1]
Tz = [ 1 0 -5; 0 1 -2; 0 0 1], Ps = [-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]
Tb = [ 1 0 5; 0 1 2; 0 0 1], Tt = Tb*Ps*Tz , Retr = Tt*Reco
% Tt = [-1 0 10; 0 -1 4; 0 0 1]
% Retr = [ 4 -4 -4 4 4; 0 0 -4 -4 0; 1 1 1 1 1]
- 4)
- Im Würfel ABCD EFGH
(
A=[0 0 0]'
, B=[8 0 0]'
,
C=[8 8 0]'
, D=[0 8 0]'
,
E=[0 0 8]'
, F=[8 0 8]'
,
G=[8 8 8]'
, H=[0 8 8]'
)
wird eine Ebene durch die 4 Punkte A,B, MC und MD
gelegt, wobei MC der Mittelpunkt der Strecke CG ist und MD der Mittelpunkt der
Strecke DH.
Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform dieser Ebene und berechnen Sie
die Abstände der Punkte E und H von dieser Ebene.
- L 4)
A=[0 0 0]', B=[8 0 0]',
C=[8 8 0]', D=[0 8 0]',
E=[0 0 8]', F=[8 0 8]',
G=[8 8 8]', H=[0 8 8]'
AB = B-A; AMD = (D+H)/2 - A;
N = cross(AB, AMD) % = [ 0 -32 64]'
en = N/norm(N) % = [ 0 -0.4472 0.8944]'
dkrit = en'*A % = 0 Ebene geht durch A = (0/0/0)
de = en'*E - dkrit % 7.1554
dh = en'*H - dkrit % 3.5777
- 5)
- Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der
folgenden zwei Schraubenlinien (Schneidekanten der
beiden Zylinder eines
Mahlwerks):
Beide Schraubenlinien haben je eine Höhe von 18 cm,
einen Durchmesser von 4 cm und 6 Umgänge.
die rechtsdrehende Schraubenlinie hat die Achse
und variabel
und die linksdrehende die Achse
und variabel.
Beide Schraubenlinien starten am Punkt .
Geben Sie die MATLAB Befehle an, um diese beiden Linien
in derselben Grafik zu zeichnen!
- L 5)
t = (0:0.01:6)*2*pi; h = 18/6;
% Schraube bei x = 2, R= 2, h = 18/6 = 3
% Start bei x - 0: rechtsdrehend
xr = 2 - 2*cos(t) ; yr = -2*sin(t); zr = t*h/(2*pi);
plot3(xr,yr,zr); hold on
% Schraube, Achse bei x = -2, R= 2, h = 18/6 = 3
% Start bei x = 0, linkssdrehend
xl = -2 +2*cos(t) ; yl = -2*sin(t); zl = t*h/(2*pi);
plot3(xl,yl,zl) ; axis equal; hold off
- 6)
- Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche in einer
eingegebenen oberen Dreiecksmatrix so viele Elemente mit Null
überschreibt, dass neben der Diagonalen nur noch 5 zu dieser
parallele
Linien übrigbleiben , die von Null verschiedene Werte aufweisen.
Von der eingegebenen Matrix darf vorausgesetzt werden, dass deren Dimensionszahl
grösser als 6 ist.
- L 6)
function BM = bandpart(M)
[nz,ns] = size(M); BM = M;
bandwid = 6;
for zei = 1:(nz-bandwid)
for spa = (zei+bandwid):ns
BM(zei,spa) = 0;
end
end