next up previous contents adam-math, MATmatcc, MMKOMP MMkomp Adam WILEY-VCH Prüfungen zum MATLAB Kurs MATLAB-Filme Projekte und M-Files Math Topics Stefan Adam persönlich Mail to stefan.adam@psi.ch
Nächste Seite: WS 07/08 - Lösungen Aufwärts: Herbstsemester 2007/08 Vorherige Seite: HS 07/08 - Prüfung   Inhalt

WS 07/08 - Lösungen zur Prüfung 1, R-G-B-Y, 27.November2007

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 27.November2007
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Wie nennt man die Funktion (den Algorithmus) zur Zerlegung einer allgemeinen quadratischen Matrix in ein Produkt von zwei speziellen Matrizen, welche eng mit der Gauss-Elimination verwandt ist?

L 1a)
die L-R-Faktorisierung (l-u-decomposition)

1b)
Welchen Fehler kann man bei der Eingabe des Befehls, der ein Skalarprodukt berechnen sollte, vermuten, wenn sich als Resultat eine Matrix ergibt statt ein Skalar?

L 1b)
Der eingegebene Vektor war ein Zeilenvektor statt ein Spaltenvektor

1c)
Wieviele Nullen muss eine antisymmetrische Matrix der Dimension nxn mindestens enthalten?

L 1c)
n Nullen, auf der Diagonalen

1d)
Wieviele der Lösungen einer n-ten Wurzel aus einer positiven rellen Zahl sind rein reel, im Fall, dass n eine ungerade Zahl ist?

L 1d)
genau eine Wurzel ist reell, alle andern kommen in konjugiert komplexen Paaren vor.

2)
Suchen Sie die Permutationsmatrixen $P$ so, dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Komponenten a .. f im angegebenen Vektor gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{r}
b\\ c\\ a\\ f \\ e\\ d\\
\end{arr...
...
\left(
\begin{array}{r}
a\\ b\\ c\\ d \\ e\\ f\\
\end{array}
\right)
}$

L 2)
$\displaystyle{
P = \left(
\begin{array}{rrrrrr}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
...
...
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{array}
\right)
}$

3)
Das ebene Rechteck A=[6 4]', B=[14 4]', C=[14 8]', D=[6 8]' soll einer Punktspiegelung um den Punkt P=[5 2]' unterworfen werden. Geben Sie die Matrizen der Teiltransformationen in homogenen Koordinaten der Ebene an und die Gesamt-Transformationsmatrix, sowie die Eck-Koordinaten des Bildes.

L 3)
 Reco = [ 6 14 14 6 6; 4  4  8  8  4; 1  1  1  1  1]
 Tz = [ 1  0 -5; 0  1 -2; 0  0  1],  Ps = [-1  0  0; 0 -1  0; 0  0  1]
 Tb = [ 1  0  5; 0  1  2; 0  0  1],  Tt = Tb*Ps*Tz , Retr = Tt*Reco
%  Tt = [-1  0 10; 0 -1  4; 0  0  1]
%  Retr = [ 4 -4 -4  4  4; 0  0 -4 -4  0; 1  1  1  1  1]

4)
Im Würfel ABCD EFGH ( A=[0 0 0]', B=[8 0 0]', C=[8 8 0]', D=[0 8 0]', E=[0 0 8]', F=[8 0 8]', G=[8 8 8]', H=[0 8 8]' ) wird eine Ebene durch die 4 Punkte A,B, MC und MD gelegt, wobei MC der Mittelpunkt der Strecke CG ist und MD der Mittelpunkt der Strecke DH. Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform dieser Ebene und berechnen Sie die Abstände der Punkte E und H von dieser Ebene.

L 4)
 A=[0 0 0]',  B=[8 0 0]', 
 C=[8 8 0]',  D=[0 8 0]', 
 E=[0 0 8]',  F=[8 0 8]', 
 G=[8 8 8]',  H=[0 8 8]'
 AB = B-A; AMD = (D+H)/2 - A;
 N = cross(AB, AMD)  % = [ 0 -32 64]'
 en = N/norm(N)      % = [ 0 -0.4472 0.8944]'
 dkrit = en'*A       % = 0  Ebene geht durch A = (0/0/0)
 de = en'*E - dkrit  %   7.1554
 dh = en'*H - dkrit  %   3.5777

5)
Bestimmen Sie die Parameterdarstellungen der folgenden zwei Schraubenlinien (Schneidekanten der beiden Zylinder eines Mahlwerks): Beide Schraubenlinien haben je eine Höhe von 18 cm, einen Durchmesser von 4 cm und 6 Umgänge. die rechtsdrehende Schraubenlinie hat die Achse $x=2,~ y= 0$ und $z$ variabel und die linksdrehende die Achse $x=-2,~ y= 0$ und $z$ variabel.
Beide Schraubenlinien starten am Punkt $(0/0/0)$.
Geben Sie die MATLAB Befehle an, um diese beiden Linien in derselben Grafik zu zeichnen!

L 5)
 t = (0:0.01:6)*2*pi; h = 18/6;
 % Schraube bei x = 2, R= 2, h = 18/6 = 3
 %  Start bei x - 0:  rechtsdrehend
   xr = 2 - 2*cos(t) ; yr = -2*sin(t); zr = t*h/(2*pi);
   plot3(xr,yr,zr);  hold on
 % Schraube, Achse bei x = -2, R= 2, h = 18/6 = 3
 %  Start bei x = 0, linkssdrehend
   xl = -2 +2*cos(t) ; yl = -2*sin(t); zl = t*h/(2*pi);
   plot3(xl,yl,zl) ;  axis equal;  hold off

6)
Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche in einer eingegebenen oberen Dreiecksmatrix so viele Elemente mit Null überschreibt, dass neben der Diagonalen nur noch 5 zu dieser parallele Linien übrigbleiben , die von Null verschiedene Werte aufweisen. Von der eingegebenen Matrix darf vorausgesetzt werden, dass deren Dimensionszahl grösser als 6 ist.

L 6)
  function BM = bandpart(M)
  [nz,ns] = size(M); BM = M; 
  bandwid = 6;
  for zei =  1:(nz-bandwid)
    for spa = (zei+bandwid):ns 
      BM(zei,spa) = 0;
    end
  end


next up previous contents adam-math, MATmatcc, MMKOMP MMkomp Adam WILEY-VCH Prüfungen zum MATLAB Kurs MATLAB-Filme Projekte und M-Files Math Topics Stefan Adam persönlich Mail to stefan.adam@psi.ch
Nächste Seite: WS 07/08 - Lösungen Aufwärts: Herbstsemester 2007/08 Vorherige Seite: HS 07/08 - Prüfung   Inhalt
2012-03-21