next up previous contents adam-math, MATmatcc, MMKOMP MMkomp Adam WILEY-VCH Prüfungen zum MATLAB Kurs MATLAB-Filme Projekte und M-Files Math Topics Stefan Adam persönlich Mail to stefan.adam@psi.ch
Nächste Seite: SS 07 - Prüfung Aufwärts: Sommersemester 2007 Vorherige Seite: SS 07 - Prüfung   Inhalt

SS 07 - Prüfung 1, Lösungen, Y 30. Mai 2007

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Mai2007
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie je eine MATLAB-Bibliotheksfunktionen an, welche die Signatur -komplexe Eingabe $\rightarrow$ komplexes Resultat bzw. -komplexe Eingabe $\rightarrow$ reelles Resultat aufweisen!

L1a)
c-c: conj(), exp(), c-r: real(), imag(), abs(), angle()

1b)
Wie erreicht man, dass in einer MATLAB-Grafik die Funktionen x=cos(w) und y=sin(w) einen wirklich runden Kreis produzieren?

L1b)
axis equal oder axis ([-1 1 -1 1]) zusammen mit axis square

1c)
Wieviele Nullen muss eine obere Dreiecksmatrix der Dimension nxn mindestens enthalten?

L1c)
n*(n-1)/2

1d)
Welche Bedingungen, falls überhaupt Bedingungen nötig sind, muss eine Matrix A erfüllen,
im Fall a) dass das Produkt $A \cdot A$ legal ist, und
im Fall b) dass das Produkt $A^T \cdot A$ legal ist?

L1d)
a) A quadratisch; b) keine Bedingung

2)
Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$\displaystyle{
\left(
\begin{array}{rrrrr}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & e_1...
..._2 & e_3 & e_4 & e_5
\end{array}
\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr
}$

L2)
 YPl = zeros(5) ; YPr = zeros(5); A=iwmat(5)
 YPl(2,5) = 1;   YPl(3,1) = 1;   YPl(5,3) = 1;  
 YPr(1,2) = 1;   YPr(4,3) = 1;   YPr(2,5) = 1;
 As = YPl*A*YPr, YPl, YPr

3)
Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

\begin{displaymath}
z^5 +4\cdot\sqrt{2} = 0
\end{displaymath}

L3)

\begin{displaymath}
z^5 = - 4\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}^5 \cdot \exp{j\cdot pi}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
z_k = \sqrt{2} \cdot \exp{j\cdot pi/5 + k \cdot 2\pi/5 ~~~ k=0 \ldots 4}
\end{displaymath}

4)
Gegeben ist der Punkt $A (3/ 4)$ in der Ebene. Bestimmen Sie die Geradengleichung in der Hesse'schen Normalform für die beiden Geraden:
1. Gerade g durch den Koordinatenursprung O und den Punkt A
2. Gerade h , senkrecht zu g durch den Punkt A
Bestimmen Sie zudem den Schnittpunkt der Geraden h mit der y-Achse (indem Sie in der zu h gehörenden Geradengleichung den x-Koordinatenwert des allgemeinen Punktes Null setzen und dessen y-Koordinatenwert suchen)!

L4)
OA = [3; 4] ;
N = [-4 ; 3]; eng = N/norm(N) , dkg = eng'*OA % dkg muss 0 sein
% eng = [-0.8 0.6]  g: eng'*OP - 0 = 0
% N orth OA ; enh orth (orth OA) , also parallel OA
enh = OA/norm(OA), dkh = enh'*OA
% enh = [0.6 0.8]  h: enh'*OP - 5 = 0 
yh = dkh/enh(2) % = 6.25

5)
Bestimmen Sie die folgenden zwei archimedischen Spiralen:
1) Die sich im Gegenurzeigersinn (mathematisch positive Winkeländerung) öffnende Spirale durch die Punkte $Pp(-1/0)$ und $Qp(0/-2)$ und
2) Die sich im Urzeigersinn öffnende Spirale durch die Punkte $Pn(1/0)$ und $Qn(0/-2)$.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen der beiden Zweige je mit einer halben Drehung zwischen der +y und der -y-Achse!

L5)
% 1 = an*(0 - wn0) ; 2 = an*(-pi/2 - wn0) ;
%  diff:  1 = an*(-pi/2) ; an = -2/pi; wn0 = pi/2
an = -2/pi ; wn0 = pi/2; wn = (0.5:-0.01:-0.5)*pi ;
xn = an*(wn - wn0).*cos(wn); yn = an*(wn - wn0).*sin(wn); 
plot(xn, yn)
axis([-5 5 -5 5]); axis equal; hold on
plot([0 0],[-5 5],'k'); plot([-5 5],[0 0],'k'); 
% 1 = ap*(pi - wp0) ; 2 = ap*(3*pi/2 - wp0) ;
%  diff:  1 = ap*(pi/2) ; ap = 2/pi; wp0 = 1/(2/pi) = pi/2
ap = 2/pi ; wp0 = pi/2; wp = (0.5:0.01:1.5)*pi ;
xp = ap*(wp - wp0).*cos(wp); yp = ap*(wp - wp0).*sin(wp); 
plot(xp, yp,'r')
hold off

6)
Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine eingegebene Matrix daraufhin prueft, ob sie eine untere Dreiecksmatrix ist, und je nach dem Ausgang der Prüfung 1 für true oder 0 für false zurückgibt. (Dazu muss vorher getestet werden ob sie quadratisch ist.)

L6
function iftri =  ltrites(M)
% Test auf untere Dreiecksmatrix
% 1. ist M quadratisch?
  [nzei,nspa] = size(M);
  if nzei ~= nspa
    iftri = 0;
    return
  else
%  oberes Feld muss Nullen enthalten
    iftri = 1;
    for zei = 1:nzei-1
      for spa = zei+1:nzei
        if M(zei,spa) ~= 0
          iftri = 0;
          return
        end
      end
    end    
  end


next up previous contents adam-math, MATmatcc, MMKOMP MMkomp Adam WILEY-VCH Prüfungen zum MATLAB Kurs MATLAB-Filme Projekte und M-Files Math Topics Stefan Adam persönlich Mail to stefan.adam@psi.ch
Nächste Seite: SS 07 - Prüfung Aufwärts: Sommersemester 2007 Vorherige Seite: SS 07 - Prüfung   Inhalt
2012-03-21