SS 07 - Prüfung 1, Lösungen, G 30. Mai 2007

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Mai2007
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie zwei MATLAB-Bibliotheksfunktionen an, welche die Signatur -komplexe Eingabe - reelles Resultat aufweisen!

L1a)

c-r: real(), imag(), abs(), angle()

1b)

Wieviele Nullen muss eine nxn Diagonalmatrix mindestens enthalten?

L1b)

n*n - n

1c)

Wie erreicht man, dass die Linien zu nachfolgenden Plot-Befehlen in dasselbe Bild eingezeichnet werden?

L1c)

hold on

1d)

Welche Bedingungen, falls überhaupt Bedingungen nötig sind, muss eine Matrix U erfüllen,
im Fall a) dass das Produkt $U \cdot U$ legal ist, und
im Fall b) dass das Produkt $U^T \cdot U$ legal ist?

L1d)

a) B quadratisch; b) keine Bedingung

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_5 & 0... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L2)

 GPl = zeros(5) ; GPr = zeros(5); A=iwmat(5)
 GPl(2,1) = 1;   GPl(3,4) = 1;   GPl(5,3) = 1;  
 GPr(5,1) = 1;   GPr(1,3) = 1;   GPr(2,4) = 1;
 As = GPl*A*GPr, GPl, GPr

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

$$z^6 + 27 = 0$$

L3)

$$z^6 = - 27 = 27 \cdot \exp{j\cdot pi}$$

$$z_k = \sqrt{3} \cdot \exp{j\cdot pi/6 + k \cdot 2\pi/6 ~~~ k=0 \ldots 5}$$

4)

Gegeben ist der Punkt $A (6/ 8)$ in der Ebene. Bestimmen Sie die Geradengleichung in der Hesse'schen Normalform für die beiden Geraden:
1. Gerade g durch den Koordinatenursprung O und den Punkt A
2. Gerade h , senkrecht zu g durch den Punkt A
Bestimmen Sie zudem den Schnittpunkt der Geraden h mit der y-Achse (indem Sie in der zu h gehörenden Geradengleichung den x-Koordinatenwert des allgemeinen Punktes Null setzen und dessen y-Koordinatenwert suchen)!

L4)

OA = [6; 8] ;
N = [-8 ; 6]; eng = N/norm(N) , dkg = eng'*OA % dkg muss = 0 sein
% eng = [-0.8 0.6]  g: eng'*OP - 0 = 0
% N orth OA ; enh orth (orth OA) , also parallel OA
enh = OA/norm(OA), dkh = enh'*OA
% enh = [0.6 0.8]  h: enh'*OP - 10 = 0 
yh = dkh/enh(2) % = 12.5

5)

Bestimmen Sie die folgenden zwei archimedischen Spiralen:
1) Die sich im Gegenurzeigersinn (mathematisch positive Winkeländerung) öffnende Spirale durch die Punkte $Pp(-3/0)$ und $Qp(0/-6)$ und
2) Die sich im Urzeigersinn öffnende Spirale durch die Punkte $Pn(3/0)$ und $Qn(0/-6)$.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen der beiden Zweige je mit einer halben Drehung zwischen der +y und der -y-Achse!

L5)

% 3 = an*(0 - wn0) ; 6 = an*(-pi/2 - wn0) ;
%  diff:  3 = an*(-pi/2) ; an = -6/pi; wn0 = pi/2
an = -6/pi ; wn0 = pi/2; wn = (0.5:-0.01:-0.5)*pi ;
xn = an*(wn - wn0).*cos(wn); yn = an*(wn - wn0).*sin(wn); 
plot(xn, yn)
axis([-7 7 -7 7]); axis equal; hold on
plot([0 0],[-7 7],'k'); plot([-7 7],[0 0],'k'); 
% 3 = ap*(pi - wp0) ; 6 = ap*(3*pi/2 - wp0) ;
%  diff:  3 = ap*(pi/2) ; ap = 6/pi; wp0 = 6/(6/pi) = pi/2
ap = 6/pi ; wp0 = pi/2; wp = (0.5:0.01:1.5)*pi ;
xp = ap*(wp - wp0).*cos(wp); yp = ap*(wp - wp0).*sin(wp); 
plot(xp, yp,'r')
hold off

6)

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine eingegebene Matrix daraufhin prueft, ob sie eine untere Dreiecksmatrix ist, und je nach dem Ausgang der Prüfung true oder false zurückgibt. (Dazu muss vorher getestet werden ob sie quadratisch ist.)

L6

function iftri =  ltrites(M)
% Test auf untere Dreiecksmatrix
% 1. ist M quadratisch?
  [nzei,nspa] = size(M);
  if nzei ~= nspa
    iftri = false;
    return
  else
%  oberes Feld muss Nullen enthalten
    iftri = true;
    for zei = 1:nzei-1
      for spa = zei+1:nzei
        if M(zei,spa) ~= 0
          iftri = false;
          return
        end
      end
    end    
  end