SS07 - Prüfung 1, Y, 30. Mai 2007

Y   Ingenieurmathematik Prüfung 1 30.Mai2007
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie je eine MATLAB-Bibliotheksfunktionen an, welche die Signatur -komplexe Eingabe $\rightarrow$ komplexes Resultat bzw. -komplexe Eingabe $\rightarrow$ reelles Resultat aufweisen!

1b)

Wie erreicht man, dass in einer MATLAB-Grafik die Funktionen x=cos(w) und y=sin(w) einen wirklich runden Kreis produzieren?

1c)

Wieviele Nullen muss eine obere Dreiecksmatrix der Dimension nxn mindestens enthalten?

1d)

Welche Bedingungen, falls überhaupt Bedingungen nötig sind, muss eine Matrix A erfüllen,
im Fall a) dass das Produkt $A \cdot A$ legal ist, und
im Fall b) dass das Produkt $A^T \cdot A$ legal ist?

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e_1... ..._2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{array} \right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

3)

Suchen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung

$$z^5 +4\cdot\sqrt{2} = 0$$

4)

Gegeben ist der Punkt $A (3/ 4)$ in der Ebene. Bestimmen Sie die Geradengleichung in der Hesse'schen Normalform für die beiden Geraden:
1. Gerade g durch den Koordinatenursprung O und den Punkt A
2. Gerade h , senkrecht zu g durch den Punkt A
Bestimmen Sie zudem den Schnittpunkt der Geraden h mit der y-Achse (indem Sie in der zu h gehörenden Geradengleichung den x-Koordinatenwert des allgemeinen Punktes Null setzen und dessen y-Koordinatenwert suchen)!

5)

Bestimmen Sie die folgenden zwei archimedischen Spiralen:
1) Die sich im Gegenurzeigersinn (mathematisch positive Winkeländerung) öffnende Spirale durch die Punkte $Pp(-1/0)$ und $Qp(0/-2)$ und
2) Die sich im Urzeigersinn öffnende Spirale durch die Punkte $Pn(1/0)$ und $Qn(0/-2)$.
Geben Sie die MATLAB-Befehle an zum Zeichnen der beiden Zweige je mit einer halben Drehung zwischen der +y und der -y-Achse!

6)

Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion, welche eine eingegebene Matrix daraufhin prueft, ob sie eine untere Dreiecksmatrix ist, und je nach dem Ausgang der Prüfung 1 für true oder 0 für false zurückgibt. (Dazu muss vorher getestet werden ob sie quadratisch ist.)