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WS 06/07 - Prüfung 1, 6.12.2006

Ingenieurmathematik Prüfung A 6.Dez.2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, Zwischenresultate obligatorisch, Max.6*8 P., 40 P. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Welche spezielle Struktur hat eine Eliminationsmatrix und wie findet man deren Inverse?

1b)
Geben Sie einen Vektor v mit komplexen Zahlen als Elemente an, so dass plot(v) ein Quadrat mit allen vier Seiten zeichnet, dessen Seiten zu den Koordinatenachsen parallel verlaufen!

1c)
Geben Sie die MATLAB-Befehle an, um die Funktionen $y_1=\mathrm{e}^{-x}$ (rot) und $y_2 = 1/x$ (schwarz) in dasselbe Bild zu zeichnen mit dem Bereich $0 < x < 5$ und $0 < y < 10$.

1d)
Wie kann man die Information, dass eine Matrix A orthogonal ist zum Vermindern von Rechenaufwand beim Lösen von lineearen Gleichungssystemen verwerten?

2)
Geben Sie alle (komplexen) Lösungen an für die Gleichung $z^3-27\cdot j = 0$

3)
Schreiben Sie ein Funktions-Programm in MATLAB-Code, welches zu einer quadratischen eingegebenen Matrix die Matrix des symmetrischen Anteils zurückgibt. Die Funktion soll das Resultat Element für Element einzeln berechnen.

4)
Bestimmen Sie alle Elemente der unbekannten Matrizen $\mathbf{Pl}$ und $\mathbf{Pr}$, so dass die untenstehende Gleichung für beliebige $a_{jk}$ gilt:

\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{rrrrr}
a_{55} & a_{54} & 0 & a_{51} ...
...} & a_{54} & a_{55}
\end{array} \right)
\cdot \mathbf{Pr}
\end{displaymath}

5)
Ein Quadrat mit den Ecken $(x/y)=(\pm 2~cm/ \pm 2~cm)$ soll mit Linien, die von links oben nach rechts unten im 45$^{\mathrm{o}}$Winkel verlaufen und untereinander den Abstand 1 cm haben, grob schraffiert werden. Geben Sie die Gleichungen der dazugehörenden 5 Trägergeraden in der Hesse'schen Normalform an! Die mittere dieser 5 Geraden soll durch den Koordinaten-Ursprung verlaufen.

6)
Schreiben Sie ein MATLAB-Skript zum Zeichnen (plot3) des Verlaufes einer Leuchtschlange bei einem Design-''Christbaum''. Die Leuchtschlange verläuft mit 8 Umgängen zu je 10 cm Ganghöhe als konische Helix mit variablem Radius zwischen 34 und 2 cm auf der Oberfläche eines geraden Kreiskegels.


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2012-03-21