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SS 06 - Lösungen zur Prüfung 2, G, 16. Aug. 2006

G   Ingenieurmathematik Prüfung 2 16.August2006
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)
Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)
Geben Sie eine 4x4 Matrix $\mathrm{P}$ an, welche bei Multiplikation von links her $(\mathrm{P\cdot A}) $ die erste und die dritte Zeile von $\mathrm{A}$ miteinander vertauscht!

L:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

1b)
Erraten oder berechnen Sie die Inverse zur Matrix [-1 0 ; 0 -1]! Liefern Sie eine ganz kurze Begründung für das gefundene Resultat

L:
Ebenfalls [-1 0 ; 0 -1] , zweimal Punktspiegelung an Ursprung ergibt wieder Urbild, also Identität.

1c)
Geben Sie die Kennbuchstaben der in MATLAB mit einem Buchstaben wählbaren sechs echten Farben in der Reihenfolge des Farbkreises an, beginnend mit grün.

L:
g c b m r y

1d)
Wie lautet der MATLAB-Befehl, um ein grafisches Element zu löschen, für das man vorher dem mit dem Befehl plhd = plot(.....) das zugehörige Plot-Handle plhd erhalten hat?

L:
delete(plhd)

2)
Geben Sie eim MATLAB Skript an, um die zwei Schraubenlinien (eine rechtsdrehende und eine linksdrehende) in 3D zu zeichnen, mit je 5 Umgängen, Radius = 5cm und Ganghöhe = 0.8cm und Start beim Punkt (0/0/5) und der x-Achse als Achse der Schraubenlinien. Markieren Sie zusätzlich die oberen Schnittpukte (diejenigen mit grösseren z-Werten) mit einem '+'-Zeichen und die unteren Schittpunkte der beiden Schraubenlinien mit einem kleinen Kreis!

L:
t=(0:0.01:5)*2*pi; to=(0:1:5)*2*pi; tu=(0.5:1:4.5)*2*pi;
h=0.8; R=5; x=t*h/2/pi; z=R*cos(t); y=R*sin(t);
plot3(x,y,z,'k'); hold on; axis equal; plot3(x,-y,z,'r');
plot3(to*h/2/pi,R*sin(to),R*cos(to),'+');
plot3(tu*h/2/pi,R*sin(tu),R*cos(tu),'o'); hold off;

3)
Schreiben Sie selbst eine MATLAB-Funktion, welche die Funktion flipud() realisiert, mit einer beliebigen Matrix als Input. Der Output ist eine Matrix derselben Dimension, wobei die Zeilen von oben nach unten und von unten nach oben an der mittleren Zeile (ungerade Zeilenzahl) bzw. an einer horizontalen Geraden in der Mitte der Matrix (gerade Zeilenzahl) gespiegelt wurden.

L:
function B = myflipud(A)
[nzei,nspa]= size(A); B=A; 
for zei = 1:nzei;
  B(zei,:) = A(nzei+1-zei,:);
end

4)
Bei einem Würfel mit den Ecken A(2/0/0) B(4/0/0) C(4/2/0) D(2/2/0) E(2/0/2) F( 4/0/2) G( 4/2/2) H(2/2/2) werden die Gleichungen der zwei Ebenen
I) durch BDE und
II) durch BDFH in der Hesse'schen Normalform gesucht
Zu beiden Ebenen ist auch noch die Gleichung der dazu parallelen Ebene durch A anzugeben!

L:
A=[2 0 0]'; B=[4 0 0]'; D=[2 2 0]'; E=[2 0 2]'; F=[4 0 2]'; H=[2 2 2]'
n1 = cross(D-B,E-B), ne1 = n1/norm(n1), d = ne1'*B, ne1'*A
%ne1 =[0.5774 0.5774 0.5774]', ne1'*OP - 2.3094=0,  ne1'*OP - 1.1547=0
n2 = cross(F-D,B-D), ne2 = n2/norm(n2), d = ne2'*C, ne2'*A
%ne1 =[0.7071 0.7071 0]', ne1'*OP - 4.2426=0,  ne2'*OP -1.4142 =0

5)
Geben Sie Sie alle Teil-Transformationsmatrizen, die Gesamt-Transformations-Matrix und die abgebildete Figur in homogenen Koordinaten der Ebene an für die drei Abbildungen, welche das Quadrat A(0/6) B(3/6) C(3/9) D(0/9)
Ia) an der Geraden durch BC spiegeln
Ib) dann das durch Ib) abgebildete Quadrat noch an der Geraden durch CD spiegeln
II) Das Quadrat um den Punkt C um 180$^{\mathrm{o}}$dreht.
(Die abgebildeten Figuren nach Ib) und nach II) decken sich.)

L:
Qur=[0 3 3 0 0; 6 6 9 9 6; 1 1 1 1 1]; 
Sl=[1 0 -3; 0 1 0; 0 0 1]; Sr=[1 0 3; 0 1 0; 0 0 1];
Su=[1 0 0; 0 1 -9; 0 0 1]; So=[1 0 0; 0 1 9; 0 0 1];
Miya=[-1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; Mixa=[1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1];
T1a = Sr*Miya*Sl, Q1a = T1a*Qur, T1b = So*Mixa*Su, Q1b = T1b*Q1a
Mr180 = [-1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1]; T2 = Sr*So*Mr180*Su*Sl, Q2 = T2*Qur
plot(Qur(1,:),Qur(2,:)); hold on; axis([0 16 0 16]) ; axis square;
plot(Q1a(1,:),Q1a(2,:),'r');plot(Q1b(1,:),Q1b(2,:),'c');
plot(Q2(1,:),Q2(2,:),'ko:'); hold off
% T1a =[-1 0 6; 0  1  0; 0 0 1]; Q1a= [6 3 3 6;  4  4 8 8]; 
% T1b =[ 1 0 0; 0 -1 18; 0 0 1]; Q1b= [6 3 3 6; 12 12 8 8]; 
% T2  =[-1 0 6; 0 -1 18; 0 0 1]; Q2 = [6 3 3 6; 12 12 9 9]; 

6)
Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F $ an für die Funktion

\begin{displaymath}
F(x,y,z,u) = \sqrt{x^3+y+1/z^2} \cdot \frac{\sin(u)}{\cos(u)}
\end{displaymath}

L:

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\Delta F &=&
3/2\,{\frac {\sin \left( u \...
...s \left( u \right) \right) ^{2}}}
\cdot \Delta u\\
\end{array}\end{displaymath}


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2012-03-21