SS 05 - Lösung zur Prüfung 1, B, 29.Juni2005

B   Ingenieurmathematik Prüfung 1 29.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welcher Typ Matrix entsteht aus einer Rechts-Dreiecksmatrix durch Transponieren?

1b)

Geben Sie in der Ebene einen zum Vektor [-3, 4]' senkrechten Vektor an.

L:)

Vertauschen von x gegen y und 1 Vorzeichen ändern, also [4, 3]'

1c)

Geben Sie eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A an, so dass gilt: S+A = [0, -5 ; 3, 7 ].

L:)

S = [0, -1 ; -1, 7 ], A = [0, -4 ; 4, 0 ].

1d)

Welches ist der maximal mögliche Rang einer 3x4 Matrix?

L:)

3, die kleinere der beiden Dimensionszahlen.

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ ... ...\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L:)

$${ Pl = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &... ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) }$$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 4nx4n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit den Werten 3 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon bis zu n nebeneinander liegende Werte verschieden von Null sind (natürlich höchstens bis zum Rand). Das umfasst n-1 Nebendiagonalen und die Diagonale selbst.

L:)

n=5
D = zeros(4*n)
for zei = 1:4*n
  for spa = max(1,zei-n+1):zei
    D(zei,spa) = 3
  end
end
spy(D)

4)

Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(6/0/0)$, $B(0/4.5/0)$ und $C(0/0/4.8)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichung der zu E parallelen Ebene F an, welche die Punktspiegelung von E am Koordinatenursprung ist.

L:)

a = [6 0 0]'
b = [0 4.5 0]'
c = [0 0  4.8]'
ab = b-a
ac = c-a
n = cross(ab,ac)
en = n/sqrt(n'*n)
% Test ob a,b,c alle in derselben Ebene
dista = en'*a
distb = en'*b
distc = en'*c

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Dreieck ABC mit den Ecken $A =(8/0)$, $B=(8/4)$, $C=(6/2)$ um $90^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'.

L:)

ay = [8 0 1]'
by = [8 4 1]'
cy = [6 2 1]'
P0 = [ay by cy ay]
T1 = [1 0 -8 ; 0 1 -4; 0 0 1]
T2 = [0 -1 0 ; 1 0 0; 0 0 1]
T3 = [1 0 8 ; 0 1 4; 0 0 1]
P1 = T1*P0
P2 = T2*P1
% transformierte Punkte
P3 = T3*P2
% Gesamt Transformationsmatrix
TT = T3*T2*T1
% Transformierte Punkte mit TT
P3b = TT*P0
% Plot  Urbild schwarz, Schlussbild rot
plothclin(P0,'k')
stdhcaxis
hold on
plothclin(P1,'b')
plothclin(P2,'g')
plothclin(P3,'r')

6)

Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der y-Achse, welche durch die Punkte (0/0/5) und (0/8/5) gehen und dazwischen 4 Umgänge haben, so, dass die eine rechtsgängig und die andere linksgängig ist. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L:)

w = (0:0.01:4)*2*pi
y = w*2/(2*pi)  % W*Ganghoehe/(2*pi)
z = 5*cos(w)
xr = 5*sin(w)
xl = -5*sin(w)
plot3(xr,y,z,'r')
hold on
plot3(xl,y,z,'k')
% Achsenkreuz
plot3([0 0], [0 10], [0 0],'g')
plot3([0 5], [0 0], [0 0],'g')
plot3([0 0], [0 0], [0 5],'g')
axis([-6 6 0 12 -6 6])
axis square
% Kreuzungspunkte zwischen links und rechtsdrehender Helix
wm = (0:0.5:4)*2*pi
ym = wm*2/(2*pi)
zm = 5*cos(wm)
xm = 5*sin(wm)
plot3(xm,ym,zm,'bo')