SS 05 - Lösung zur Prüfung 1, RGBY, 29.Juni2005

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 29.Juni2005
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welcher Typ Matrix entsteht aus einer hohen Rechtecksmatrix durch Transponieren?

L:)

Eine breite Rechtecksmatrix.

1b)

Welches ist der maximal mögliche Rang einer 4x7 Matrix?

L:)

4, die kleinere der beiden Dimensionszahlen.

1c)

Geben Sie in der Ebene einen zum Vektor [3, -2]' senkrechten Vektor an.

L:)

Vertauschen von x gegen y und 1 Vorzeichen ändern, also [2, 3]'

1d)

Geben Sie eine symmetrische Matrix S und eine antisymmetrische Matrix A an, so dass gilt: S+A = [2, 4 ; 0, -3 ].

L:)

S = [2, 2 ; 2, -3 ]. A = [0, 2 ; -2, 0 ].

2)

Suchen Sie die speziellen Permutations/Auswahlmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & b_2 & b_1 \\ 0 & 0 & a_2 &... ...\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr ~=~ Pl \cdot A \cdot Pr }$$

L:)

$${ Pl = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & ... ...& 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }$$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 3nx3n untere Dreiecksmatrix mit Bandstruktur der Bandbreite n mit den Werten 5 füllt. Mit der Bandstruktur ist gemeint, dass auf der Diagonalen und links davon bis zu n nebeneinander liegende Werte verschieden von Null sind (natürlich höchstens bis zum Rand). Das umfasst n-1 Nebendiagonalen und die Diagonale selbst.

L:)

n=5
D = zeros(3*n)
for zei = 1:3*n
  for spa = max(1,zei-n+1):zei
    D(zei,spa) = 5
  end
end
spy(D)

4)

Bestimmen Sie eine Ebene E durch die Punkte $A(9/0/0)$, $B(0/12/0)$ und $C(0/0/9.6)$ und geben Sie deren Gleichung in der Hesse'schen Normalform an. Geben Sie zusätzlich die Gleichung der zu E parallelen Ebene F an, welche die Punktspiegelung von E am Koordinatenursprung ist.

L:)

a = [9 0 0]'
b = [0 12 0]'
c = [0 0 9.6]'
ab = b-a
ac = c-a
n = cross(ab,ac)
en = n/sqrt(n'*n)
% Test ob a,b,c alle in derselben Ebene
dista = en'*a
distb = en'*b
distc = en'*c

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche das Dreieck ABC mit den Ecken $A =(6/0)$, $B=(6/6)$, $C=(3/3)$ um $-90^{\mathrm{o}}$  (im Uhrzeigersinnn) um die Ecke B dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'.

L:)

ay = [6 0 1]'
by = [6 6 1]'
cy = [3 3 1]'
P0 = [ay by cy ay]
T1 = [1 0 -6 ; 0 1 -6; 0 0 1]
T2 = [0 1 0 ; -1 0 0; 0 0 1]
T3 = [1 0 6 ; 0 1 6; 0 0 1]
P1 = T1*P0
P2 = T2*P1
% transformierte Punkte
P3 = T3*P2
% Gesamt Transformationsmatrix
TT = T3*T2*T1
% Transformierte Punkte mit TT
P3b = TT*P0
% Plot  Urbild schwarz, Schlussbild rot
plothclin(P0,'k')
stdhcaxis
hold on
plothclin(P1,'b')
plothclin(P2,'g')
plothclin(P3,'r')

6)

Suchen Sie die Darstellungen der beiden Schraubenlinien mit Achse auf der x-Achse, welche durch die Punkte (0/0/6) und (8/0/6) gehen und dazwischen 4 Umgänge haben, so, dass die eine rechtsgängig und die andere linksgängig ist. Geben Sie ein MATLAB-Skript an, um diese zu zeichnen.

L:)

w = (0:0.01:4)*2*pi
x = w*2/(2*pi)  % W*Ganghoehe/(2*pi)
z = 6*cos(w)
yr = 6*sin(w)
yl = -6*sin(w)
plot3(x,yr,z,'r')
hold on
plot3(x,yl,z,'k')
% Achsenkreuz
plot3([0 0], [0 10], [0 0],'g')
plot3([0 5], [0 0], [0 0],'g')
plot3([0 0], [0 0], [0 5],'g')
axis([-8 8 0 16 -8 8])
axis square
% Kreuzungspunkte zwischen links und rechtsdrehender Helix
wm = (0:0.5:4)*2*pi
ym = wm*2/(2*pi)
zm = 6*cos(wm)
xm = 6*sin(wm)
plot3(xm,ym,zm,'bo')